Ciągi Klaudynaa: Zbadaj monotoniczność i ograniczenie ciągu c=(1+1/n)ⁿ

Janek191:

	1
lim ( 1 +		)n = e
	n

n → ∞ e ≈ 2,718 281 828 2 ≤ c_n < e − ciąg jest ograniczony

Hurwitz: Dobre Nie ma prostego sposobu na to zadanie. Poszukaj w sieci − jest w materiałach z wykładów. Wydawało mi się, że kiedyś to tu rozwiązywałem, ale nie mogę znaleźć... Ogólnie idea prosta: rozpisujesz całość z dwumianu Newtona i przekształcasz, przekształcasz, przekształcasz.... Monotoniczność możesz ew. z nierówności Bernoulliego wykazać (a tę z kolei indukcyjnie), ale możesz i bez niej się obejść.

Klaudynaa: Nie mieliśmy jeszcze granic. Więc proszę o rozwiązanie innym sposobem. Potrzebuje znać ograniczenie i z góry i z dołu jeśli posiada oraz wiedzieć czy rośnie czy maleje

Hurwitz: Ciąg rośnie, z dołu ograniczony przez pierwszy raz, tj. 2, z góry przez 3 − to da się pokazać. Ja teraz muszę lecieć na wykład. Może ktoś Ci pomoże. Jak nie, to, jak śpiewa Kazik "ja tu jeszcze wrócę. Nie zapomnę tego..."...

Hurwitz: I jeszcze jedno do rozwiązania z 12:46. Z istnienia granicy ciągu c_n→e, nie wynika że 2≤c_n<e. Bez monotoniczności ani rusz.

Klaudynaa: No właśnie dlatego monotoniczność jest najważniejsza. Czy da się w to prosty sposób zrobić bo z warunku (a_n+1)/(a_n)>1 się chyba nie da i tak samo (a_n+1)−(a_n)>0

Klaudynaa: *te 1 po lewej stronie też są na dole przy n

Saizou :

an+1
	>1
an

n+2   ( )n+1   n+1
	>1
n+1   ( )n   n

n+2		n(n+2)
	•(		)n>1
n+1		(n+1)2

	1		n(n+2)
(1+		)•(		)n>1
	n+1		(n+1)2

wiemy że:

	1
1+		>0 dla każdego n∊N
	n+1

i wystarczy pokazać że

	n(n+2)
(		)n>1
	(n+1)2

Saizou : *miało być

	1
1+		> 1
	n+1

b.: Saizou: tylko to, co wystarczy pokazać niestety nie zachodzi, bo podstawa < 1

b.: z nierówności Bernoulliego (1+x)ⁿ >= 1+nx, x>−1, n naturalne, więc

	n(n+2)		1		n
(		)n = (1 −		)n >= 1 −		;
	(n+1)2		(n+1)2		(n+1)2

	1		n
(1+		) (1 −		) zostawiam do policzenia i oszacowania przez jedynkę
	n+1		(n+1)2

Klaudyniee, jeśli jest takim rozwiązaniem zainteresowana

Hurwitz: Rozpisując ze wzoru Newtona, skracając co się da, można dość łatwo pokazać, że

	1		1		1		2		k−1
(1+		)n=∑k=0n		(1−		)(1−		)...(1−		).
	n		k!		n		n		n

Stąd

	1		1		2		k−1
a) zwiększając n, wyrażenie		(1−		)(1−		)...(1−		) się zwiększa
	k!		n		n		n

(odejmujesz mniej, więc mnożysz większe liczby dodatnie) b) zwiększając n sumujesz więcej (n jest górną granicą sumowania). Podsumowując: zwiększając n sumujesz więcej większych. Zamieniając n na n+1 a) otrzymujesz więc wiecej (bo zwiększasz n)

	1
b) dając za n →n+1 otrzymujesz (1+		)n+1 − patrz lewa strona.
	n+1

	1		1
To oznacza, że ciąg jest rosnący, bo (1+		)n<(1+		)n+1.
	n		n+1