Granica Elektro: lim = (n!)/ nⁿ n→∞

ICSP: 0

Elektro: dzięki, ale może jakiś tok rozumowania?

ICSP:

	an+1
Jeżeli an jest ciagiem o wyrazach dodatnich i lim		< 1 to lim an = 0
	an

Elektro: dziękuję

Hurwitz: @ICSP: z tego wraunku jeszcze nie wynika, że granica to zero. Czy każdy ciąg malejący o wyrazach dodatnich ma granicę równą zero? Wykazałeś do tej pory, że ciąg jest zbieżny.

	n!
Dokończyć można np. tak: an=		. Stąd
	nn

an+1		(n+1)!		nn
	=				=(n/(n+1))n = (1+1/n)−n,
an		(n+1)n(n+1)		n!

lub równoważnie: a_n+1=a_n (1+1/n)⁻ⁿ. Oznaczmy granicę a_n jako a: a_n→a Stąd, z powyższego równania: a=a * e⁻¹. Stąd wyliczamy a. Odp: a=0.

ICSP: To co wyżej napisałem jest niczym innym jak kryterium d'Alemberta zbieżności szeregu ∑a_n, ale można też udowodnić takie twierdzenie:

	an+1
lim |		| = q < 1 ⇒ lim an = 0
	an

Z definicji otrzymujemy :

	an+1
|		| ≤ q + ε i dobieramy ε tak aby q + ε < 1
	an

wtedy |a_n+1 | < | a_n | Oczywiście ciąg |a_n| jako malejący i ograniczony od dołu musi mieć skończoną granicę. Twierdzimy, że granicą tą jest 0, gdyż

	|an+1|
jeżeli |an| → g ≠ 0 to |an+1 | → g i		→ 1 ≠ q
	|an|

Jeżeli a_n > 0 dla dowolnego naturalnego n. Wartość bezwzględna możemy pominąć

Hurwitz: @ICSP: wybacz. Nie zauważyłem granicy....

ICSP: