Liczby zespolone Pamiętajcie: Z formalnego punktu widzenia, pierwiastek z liczby zespolonej nie jest liczbą (tylko zbiorem). Zapis √119 − 120i = 12−5i, mimo, że powszechnie stosowany, nie jest w pełni poprawny.

Mila: To chyba tylko, gdy chodzi o √Δ brany jest jeden pierwiastek.

Pamiętajcie: Też nie; też występują dwa. We wzorach o których mówimy nie ma √Δ, tylko δ oraz −δ, gdzie √Δ={−δ,δ}. W przypadku, gdy Δ≥0, √Δ to pierwiastek arytmetyczny (czyli liczba nieujemna); dla zespolonych − pierwiastek algebraiczny. To samo oznaczenie; dwa znaczenia.

PW: Z formalnego punktu widzenia pierwiastek jest liczbą. Tyle że takich liczb może być więcej niż jedna. Jaka jest definicja pierwiastka?

Pamiętajcie: Pierwiastek algebraiczny stopnia n to zbiór liczb zespolonych, które podniesione do potęgi n dają liczbę pod pierwiastkiem.

PW: To jakaś pseudoformalna definicja. Rozumiem, że jeśli będziesz dodawał dwa pierwiastki pewnej liczby, to wykonywał będziesz jakieś bliżej nieokreślone działanie na zbiorach? W myśl tej definicji dodawanie dwóch pierwiastków liczby 1 polegałoby na dodawaniu (tylko jakim) dwóch jednakowych zbiorów Z, czyli "Z dodać Z"?

Mila: Teoretycznie masz Pan rację. Praktycznie − ułatwiamy sobie życie.

Pamiętajcie: Dodaję tak jak zbiory: "∪". Jedynie chciałem "tym co ogarniają" przypomnieć jak jest − poszukajcie w mądrych książkach. Nawet nie musi to być zbyt mądra książka − zobaczcie choćby w wiki... (nie polecam).

PW: I tak w dążeniu do formalizmu doszliśmy do bredni.

fx: To jak to jest z tym pierwiastkiem liczby zespolonej? Nigdy nad tym się nie zastanawiałem, nigdy nie było mi to potrzebne. PW znasz się na rzeczy, liczę na jakieś Twoje przemyślenie .

b.: Nie cierpię oznaczenia typu √−1. Np.: √−2 = {−√2i, √2i} ...ale zaraz zaraz, 2∊C, więc √2 = {−√2, √2} ? hmm.... Tak tak, wiem, mamy jedną definicję pierwiastka dla liczb nieujemnych, i zupełnie inną dla pozostałych. Mi to się nie podoba (delikatnie mówiąc). Przecież można pisać {z∊C: z² = −2} jest trochę dłużej niż √−2, ale poprawnie i każdy wie o co chodzi, a poza tym zapis √−2 nie jest aż tak często potrzebny, żeby się opłacało wprowadzać krótszą ale mętną notację.

b.: A z innej beczki, czy ktoś widział takie oznaczenie poza skryptami i poza kursami dla studentów nie−matematyki? Bo ja nie...

Hurwitz: A mnie nie przeszkadza, że jest jak jest. Faktycznie, pierwiastek z liczby zespolonej to zbiór i tak to traktuję. Jak ktoś patrzy na to inaczej i nie ma problemów − OK. W innych mądrych książkach określa się to jako funkcję wielowartościową (ln z liczby zespolonej (np. ln(1+i)), liczba zespolona do potęgi zespolonej (np. iⁱ) to inne przykłady takich funkcji). Na studiach technicznych nie trzeba sobie tym głowy zaprzątać. Ja akurat miałem tę przyjemność, że musiałem PS> Swoją drogą jest dużo równań postaci √x+1−x+2=0 (gdzie x∊R). A widzieliście kiedyś równanie postaci: √z+1+i − 1+i+z=0? Kolega raczył wyjaśnić dlaczego...