liczby zespolone, przekształcenie do postaci trygonometrycznej zuz.: hej, mam problem z takim zadaniem: z = 1+cosα+i sinα, zapisać z w postaci trygonometrycznej.

	α
więc wyliczam r = √(1+cosα)2+sin2α, które koniec końców wychodzi 2cos
	2

i mam problem z wyliczeniem argumentu.

	sinα
zakładając, że mój argz = β wychodzi mi, że tanβ=		i nie mam pojęcia jak odnaleźć
	1+cosα

argument. próbowałam podstawić, że sinβ=sinα ⋀ cosβ=1+cosα, ale nie jest to chyba poprawne.. czy mógłby ktoś przedstawić znalezienie argz krok po kroku? byłabym bardzo wdzięczna

Mila:

	α
|z|=2cos
	2

	α		α		α
1+cosα=1+cos2(		)−sin2(		)=2cos2(		)
	2		2		2

	α		α		α
z=2cos2(		)+2sin		*cos(		)*i⇔
	2		2		2

	α		α		α
z=2cos		*(cos(		)+i sin(		) )
	2		2		2

Dodaj założenie o α.

zuz.: dziękuję bardzo, nawet nie zwróciłam uwagi, że można do tego dojść przez przekształcenia

Mila:

PW: Rysunkowo też było można, zadanie jest "sprytne". Mamy dwie liczby: z₁ = cosα + i sinα oraz z = z₁ + 1. Ponieważ |z₁| = √cos²α + sin²α = 1, a liczba z jest przesunięta względem z₁ "o 1 w prawo", po narysowaniu zobaczymy, że 0, z₁ i z stanowią wierzchołki rombu o boku 1.

	α		α
Wniosek: cosβ = cos		oraz sinβ=sin		, a |z|2 = (przekątna rombu)2 = (tw.kosinusów)
	2		2

	α		α
= 12+12−2cos(π−a) = 2(1+cosα) = 2·2cos2		, czyli |z| = 2cos		.
	2		2

To tylko zabawa, bo takie oczywiste jest, gdy z₁ leży w pierwszej ćwiartce.