Geometria przestrzenna. Marcin: Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez środek odcinka AB, gdzie A=(3,2,−1), B=(5,0,7) i prostopadłej do tego odcinka. Środek tego odcinka to będzie Q=(4,1,3) Mając trzy punkty można jakoś prosto wyznaczyć równanie tej płaszczyzny?

Hurwitz: Dopiero co rozwiązałem takie zadanie w R² metodą, która i w R³ zadziała...

Marcin: No to pochwal się metodą. Bo w R², to miałeś y=ax+b i podstawiałeś sobie dwa punkty i po problemie. Tutaj mam D=Ax+By+Cz I nie bardzo widzę tutaj takie zastosowanie. Ale dopiero zaczynam się bawić w R³ (pierwsze zadanie)

Mila: Te 3 punkty nie wystarczą , bo są współliniowe, ale masz informację, że płaszczyzna ma być prostopadła do AB. Płaszczyzna π ma być prostopadła do AB. AB^→ to będzie wektor kierunkowy prostej AB i wektor prostopadły do płaszczyzny π. AB^→=[2,−2,8] π: 2*(x−4)−2*(y−1)+8*(z−3)=0⇔ 2x−8−2y+2+8z−24=0 doprowadź do najprostszej postaci.

Marcin: I to będzie tyle Milu? 2x−2y+8z−30=0?

Kamilek: iloczyn skalarny musi być równy zero to widzę itd a skąd wzięły się nawiasy ? widzę że to współrzędne minus środek ale czemu ?

Mila: Marcin, można jeszcze podzielić przez 2. Kamil, możesz tak: [2,−2,8] wektor prostopadły do płaszczyzny⇔ 2x−2y+8z+D=0 płaszczyzna przechodzi przez punkt Q=(4,1,3)⇔wsp. spełniają równanie płaszczyzny 2*4−2*1+8*3+D=0 8−2+24+D=0⇔D=−30 2x−2y+8z−30=0 /:2 x−y+4z−15=0

Marcin: Kolejne. Mam dwie proste:

x−1		y+2		z		y+11
	=		=		, x+1 =		= z+1
2		−1		3		2

Szukam ich punktu wspólnego: Wyznaczam sobie z drugiego równania: x+1=z+1 ⇔ x=z Podstawiam

z−1		z
	=		⇒ z=3, x=3
2		3

Liczę y

y+11
	=4 ⇒ y=−3
2

Punkt wspólny to: (3,−3,3) Dobrze to robię w ogóle?

Hurwitz: To co pisałem o 22:51 − wystarczyło znaleźć odpowiedni post... Szukasz punktów (x,y,z) których odległość od A=(3,2,−1) jest taka sama jak od B=(5,0,7), tj. √(x−3)² + (y−2)² + (z+1)² = √(x−5)² + y² + (z−7)². Stąd, po podniesieniu do kwadratu i odjęciu identycznych wyrażeń: −6x+9−4y+4+2z+1=−10x+25−14z+49 − to równanie poszukiwanej płaszczyzny: 4x−4y+16z−60=0.

Mila: Marcin, pewnie nie zauważył, że na forum rozwiązałeś, ja zresztą też myślałam, że dla swoich potrzeb masz na kartce rozwiązane. Szkoda,że nie podałeś adresu wpisu.

Hurwitz: Ważne, że zainteresowany poznał rozwiązanie

Marcin: Dzięki za odpowiedzi