zespolone start Lukas: Uzasadnij, że liczba i jest rozwiązaniem równania. z²+1=0 x²+2xyi−y²+1=0 2xy=0 x²−y²+1=0 x=0 y=0 y²=1 x²=−1 sprzeczność y=1 lub y=−1 I wyszło, że rozwiązaniem jest i lub −1 ? Gdzie w takim razie jest błąd ?

Lukas: 2. Uzasadnij równość Re(z₁+z₂)=Re(z₁)+Re(z₂) Re(x₁+yi₁+x₂+yi₂)⇔Re(x₁+yi₁)+Re(x₂+yi₂)⇔ x₁+x₂=x₁+x₂ ?

Lukas: 3. Uzasadnij równość Im(z₁+z₂)=Im(z₁)+Im(z₂) Im(x₁+yi₁+x₂+yi₂)=Im(x₁+yi₁)+Im(x₂+yi₂) (y₁+y₂)i=(y₁+y₂)i ?

J : 1) z² + 1 = 0 ..... z = i ⇔ i² + 1 = 0 ⇔ −1 + 1 = 0

Lukas: @J a mogę zapytać czemu rozwiązanie 10:18 jest błędne ? skorzystałem przecież z definicji z=(x+yi) ?

MQ: Nie i lub −1, tylko i oraz −i. A poza tym, jaki błąd? przecież wyszło ci, że jednym z rozwiązań jest i.

MQ: @10:22 Raczej tak: 1: Re(z₁+z₂)=Re(x₁+iy₁+x₂+iy₂)=Re((x₁+x₂)+i(y₁+y₂))=x₁+x₂ 2: Re(z₁)+Re(z₂)=Re(x₁+iy₁)+Re(x₂+iy₂)=x₁+x₂ 1:=2: ⇒ Re(z₁+z₂)=Re(z₁)+Re(z₂)

Lukas: Dziękuję.

Lukas: 3. Znajdź wszystkie liczby zespolone spełniające podane warunki z²+4i=0 x²+2xyi−y²+4i=0 (x−y)(x+y)=0 xy=−2 z₁=−√2+√2i lub z₂=√2−√2i

Lukas: to samo polecenie Rez−3Imz=2 Re(x+yi)−3Im(x+yi)=2 x−3y=2

	1		2
y=		x−
	3		3

Wszystkie punkty lezące na tej prostej ?

J : ..tak.

Lukas: @ J będziesz jeszcze na forum po południu ?

J : ... trudno powiedzieć ...

Lukas: jak to rozpisać ?

J : z + 1 = x + yi + 1 = (x+1) + yi ... sprzężenie: x+1 − yi

Lukas: Ok

Lukas: Na płaszczyźnie zespolonej zaznacz a) |z+1|=3 ?

J : Iz + 1I = 3 = I z − (−1) I = 3 ... okrąg o środku w punkcie z_o = −1 i promieniu r = 3

Lukas: ale to −1 na osi urojonej czy rzeczywistej ?

J : ..rzeczywistej...

J : .. −1 = −1 + 0i

Lukas:

Lukas: |iz+3|≤2 |(−y+3)+xi|≤2 ?

Kacper: Do tej pory ok.

Lukas: Ale co dalej zrobić ? Bo się troszkę pogubiłem.

Mila: Zadanie) ( 1) Nie miałes polecenia rozwiąż równanie lecz sprawdź,.. spr. L=z²+1=(i)²+1=−1+1=0 =P Koniec. Oczywiście równanie ma dwa rozwiązania Obliczyłeś y=1 lub y=−1 to masz rozwiązania : (0+1i)=i oraz (0−1i)=−i Piszę, bo nie wiem , czy to już dobrze rozumiesz. Zadanie ostatnie z 16:10, możesz tak. |iz+3|≤2 |iz−3*i*2|≤2 |i*(z−3i)|≤2 |i|*|z−3i|≤2⇔ |z−3i|≤2 to jest koło o środku (0,3) i r=2

Lukas: Właśnie nie wiem jak to jest z tymi zespolonymi, za co podstawić żeby sprawdzić czy jest pierwiastkiem.

Kacper: Za liczbę z.

Lukas: |z²+1|=|z+1| a to jak przedstawić ?

Lukas: |z²+1|=|z−(−1)| ?

Lukas: ?

Lukas: ?

Lukas: ?

Mila: A jakie masz polecenie do równania |z²+1|=|z+1| ?

J : ....a nie masz przypadkiem: Iz²+1I = Iz + iI ...?

Lukas: zaznacz na płaszczyźnie zespolonej |z²+1|=|z+i|

J : .. czyli miałem rację ... Iz²+1I = Iz+ iI ⇔ Iz+iI*Iz− 1I = Iz +i I ⇔ Iz − 1I = 1 .... i teraz już poradzisz sobie...

Kris: |z²+1| = I z + i I*I z− i I

J : ...rysunek post 16:04 ... zły , środek okregu w punkcie (−1,0) , a nie (1,0)..

Mila: |z²+1|=|z+i|⇔ |z²−i²|=|z+i|⇔ |z−i|*|z+i|=|z+i|⇔ |z−i|*|z+i|−|z+i|=0 |z+i|=0 lub |z−i|=1⇔ z=−i lub |z−i|=1 i co to będzie?

Lukas: okrąg ?

52: Strzelasz czy wiesz? Jak nie wiesz to się pytaj. Ogólnie na jakiej jesteś uczelni Lukas ?

Lukas: A to ważne na jakie uczelni ? Wiem, ale wolę się upewnić.

52: Są dwa rozwiązania... to co dwa okręgi ?

52: A się spytałem tylko z ciekawości. Jeśli cię to miało urazić to Przepraszam.

Lukas: Nie uraziło mnie to ale po prostu nie mam zamiaru tutaj pisać co i gdzie studiuję.

52: Też bym tak narysował

Lukas: ostatni przykład

Mila: Okrąg , S=(0,1) , r=1 i punkt (0,−1)

Mila: |z|=z*ź Tu rozpisz, podstaw: z=x+iy, x,y ∊R To ważny przyklad.

Lukas: |z|=(x+yi)(x−yi) √x²+y²=x²+xyi−xyi−y²i² √x²+y²=x²+y² /² x²+y²=x⁴+2x²y²+y⁴

J : z*ź = IzI²

Lukas: |z|=|z|² √x²+y²=x²+y² ?

J : (x+yi)(x−yi) = x² + y² = (√x²+y²)² = IzI²

J : (x+yi)(x−yi) = x² + y² = (√x²+y²)² = IzI²

Lukas: czyli jak będzie ostatecznie ?

Lukas: |z|²−|z|=0 |z|(|z|−1)=0 ?

Mila: Właśnie z tego co napisałeś 20:59 wynika to co podał kolega J Dobrze 21:05 ,21:10⇔ |z|=0 lub |z|=1 Teraz narysuj.

Lukas: rozpisać z modułu ? z=0 lub z=1 lub z=−1 ?

52: Mi się wydaje że tak nie wolno... Po prostu masz pkt(0,0) i okrąg r=1 o środku O(0,0) Tak myślę.

J : ....nie "i" ... tylko "lub" ... IzI = 0 lub IzI = 1 ...punkt(0,0) lub okrąg S(0,0) r =1

Lukas: Dziękuję wszystkim za pomoc.

52: J masz rację ... moje przeoczenie.