Ciągi st.l: Znajdź wzór ogólny ciągu: 0,1,0,−1,0,1,0,−1

M:

Mariusz: a₀ = 0 a₁ = 1 a_n = −a_n−2 A(x) = ∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=2^∞a_nxⁿ = ∑_n=2^∞−a_n−2xⁿ ∑_n=2^∞a_nxⁿ = −x²(∑_n=2^∞a_n−2xⁿ⁻²) ∑_n=2^∞a_nxⁿ = −x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ) ∑_n=0^∞a_nxⁿ − 0 − x = −x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ) (1+x²)(∑_n=0^∞a_nxⁿ) = x

	x
∑n=0∞anxn =
	1+x2

A		B		x
	+		=
1−ix		1+ix		1+x2

A(1+ix) + B(1−ix)		x
	=
(1−ix)(1+ix)		1+x2

A(1+ix) + B(1−ix) = x A+B = 0 i*(A − B) = 1 A+B = 0 A − B = −i B = −A 2A = −i

	i
A = −
	2

	i
B =
	2

	i	1		i	1
A(x) =			−
	2	1−(−ix)		2	1−ix

	i		i
A(x) = ∑n=0∞((		(−i)n−		*in)*xn)
	2		2

	i		i
an =		(−i)n−		*in)
	2		2

	1		π		pi		π		π
an =		(cos(		)+isin(		)*(cos(−		)+i*sin(−		))n +
	2		2		2		2		2

	π		pi		π		π
cos(−		)+isin(−		)*(cos(		)+i*sin(		))n
	2		2		2		2

)

	1		π		π		π		π
an =		(cos(		−		n)+isin(		−		n) +
	2		2		2		2		2

	π		π		π		π
cos(−		+		n)+isin(−		+		n))
	2		2		2		2

	1		π		π		π		π
an =		(cos(−		+		n)−isin(−		+		n) +
	2		2		2		2		2

	π		π		π		π
cos(−		+		n)+isin(−		+		n))
	2		2		2		2

	1		π
an =		* 2 *cos(		*(n−1))
	2		2

	π
an = cos(		*(n+3))
	2

przy założeniu że wyrazy ciągu numerowane są od zera

wredulus_pospolitus: Przykładowy wzór ogólny ciągu: przy założeniu że wyrazy są numerowane od zera:

	πn
an = sin(		)
	2

Mariusz −−− rozumiem, że chcesz pokazać w jaki sposób wyprowadzić wzór ciągu ... ale po cholerę? Zwłaszcza, że osoba która ewentualnie by szukała odpowiedzi na to pytanie to zapewne ktoś kto jest maksymalnie na 1 roku studiów i nie ma bladego pojęcia co Ty tu wypisałeś

Mariusz : To i tak jest zadanie odświeżone więc autor zadania i tak nie zajrzy ale ktoś może w przyszłości mieć podobne zadanie więc opiszę sposób rozwiązania Najpierw zauważam że wyrazy ciągu spełniają równanie rekurencyjne a₀ = 0 a₁ = 1 a_n = −a_n−2 Następnie definiuję funkcję tworzącą A(x) = ∑_n=0^∞a_nxⁿ Ponieważ rekurencja zachodzi dla n≥2 więc wstawiając funkcję tworzącą do równania rekurencyjnego zaczynam sumowanie od n=2 i staram się ułożyć równanie z którego można wyznaczyć funkcję A(x)

	x
Uzyskałem funkcję A(x) =
	1+x2

Tę funkcję rozkładam na sumę szeregów geometrycznych i ich pochodnych Tutaj pochodnych nie będzie bo nie mamy pierwiastków wielokrotnych Okazuje się że ilorazem szeregu geometrycznego będzie liczba zespolona Mamy wzór ciągu wyrażony za pomocą liczb zespolonych

i		i
	(−i)n −		*in
2		2

Zauważam że mamy tutaj iloczyny w których każdy z czynników ma taki argument że nie jest konieczne korzystanie z funkcyj cyklometrycznych Można więc łatwo przejść na postać trygonometryczną i wykonać mnożenia Podczas mnożenia moduły się mnoży a argumenty dodaje Podczas potęgowania moduły potęgujemy a argumenty mnożymy Ja tutaj pokazałem jak rozwiązać równanie rekurencyjne zwykłą funkcją tworzącą jak ktoś lubi równaniem charakterystycznym to też może Wredulus na początku też szukałem podobnego wzoru co napisałeś ale chyba mój mózg nie pracował wtedy zbyt dobrze (Może się nie wyspałem czy coś) więc postanowiłem wyprowadzić ten wzór rozwiązując równanie rekurencyjne