AS: Tw.pomocnicze:
Kwadrat liczby parzystej jest liczbą parzystą
Kwadrat liczby nieparzystej jest liczbą nieparzystą
| | x | | x | |
Załóżmy,że istnieje ułamek nieskracalny |
| taki,ze |
| = √3 |
| | y | | y | |
Wtedy: x
2 = 3*y
2
Przypadek 1.
x = 2*k , y = 2*l , obie parzyste,odpada bo ułamek byłby skracalny przez 2
Przypadek 2.
x = 2*k , y = 2*l + 1 , licznik parzysty,mianownik nieparzysty
(2*k)
2 = 3*(2*l + 1)
2
4*k
2 = 3*(2*l + 1)
2
Lewa strona parzysta,prawa strona nieparzysta,równość nie może zajść.
Przypadek 3.
x = 2*k + 1 , y = 2*l , licznik nieparzysty,mainownik parzysty
(2*k + 1)
2 = 3*(2*l)
2
(2*k + 1)
2 = 3*4*l
2
Lewa strona nieparzysta,prawa parzysta,równość nie może zajść
Przypadek 4.
x = 2*k + 1 , y = 2*l + 1 , licznik nieparzysty,mianownik nieparzysty
(2*k + 1)
2 = 3*(2*l + 1)
2
4*k
2 + 4*k + 1 = 12*l
2 + 12*l + 3
4*k
2 + 4*k − 2 = 12*l*(l + 1) |:2
2*k
2 + 2*k − 1 = 6*l*(l + 1)
2*k*(k + 1) = 6*l*(l + 1) + 1
Lewa strona parzysta,prawa nieparzysta,równość nie może zajść.
| | x | |
W takim razie nie istnieje ułamek |
| którego wartością jest √3. |
| | y | |
Wniosek: liczba
√3 jest niewymierna,tym samym i
√12.
BiebrzaFun : AS,Bogdan i reszta świata
Czy można to tak dowieść?
√12 jest pierwiastkiem wielomianu o wspólcz. całkowitych P(x)=x
2−12,jeśli P(x) posiada
| | p | |
pierwiastki wymierne to są nimi dzielniki 12 ,lub liczby |
| |
| | q | |
gdzie p I −12 ,q I 1.Żadna liczb w/w nie jest pierwiastkiem P(x),a wiemy ,że √12 jest ,więc
musi być niewymierny.
Bogdan:
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu całkowitego: jeżeli ułamek nieskracalny
| p | |
| ∊ ℚ (ℚ jest zbiorem liczb wymiernych) jest pierwiastkiem wielomianu całkowitego, |
| q | |
to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego oraz q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego.
Biorąc to twierdzenie pod uwagę, Twoje
BiebrzaFun rozumowanie jest prawidłowe.
Witaj
Asie, co o tym myślisz ?