Sprawdzić właśności relacji Brzoza: S⊂R², (x,y)∊S ⇔cos(y−x)=1 Nie wiem jak to dobrze udowadniać. Ech, czy w ogóle idę w dobrą stronę? y−x=2kπ, k∊ℂ a) zwrotna: x−x=2kπ ⇔ 0=2kπ ⇔ 0=kπ nieprawda np. dla k=1, więc nie jest zwrotna b) symetryczna: y=2kπ+x ⇔ x=−2kπ+y ≠ x=2kπ+y więc nie jest symetryczna c) antysymetryczna − ? d) przechodnia: [(x,y)∊S ⇔ y=2kπ+x i (y,z)∊S ⇔ z=2kπ+y] ⇔ z=2kπ+2kπ+x ⇔ z=4kπ+x ⇔ (x,z)∉S e) zupełna: niech (x,y)=(5,3), (5,3)∉S, bo kπ≠−1 lub (3,5)∉S, bo kπ≠1. Alternatywa fałszywa, więc nie jest zupełna.

b.: e) jest chyba mniej więcej dobrze (choć nie pamiętam definicji zupełności ), ale reszta nie np. zwrotna oznacza, że (x,x)∊S dla każdego x, symetryczna, że jeśli (x,y)∊S, to też (y,x)∊S pokażę dla przykładu, że jest symetryczna: jeśli (x,y)∊S, to cos(y−x)=1, ale wtedy też cos(x−y)=1, bo cos jest parzyty, więc też (y,x)∊S