funkcja roznowartosciowa Maciek: Sprawdź czy funkcja jest różnowartościowa Witam. Proszę o pomoc, strasznie męczę się z zadaniem i kombinuje na wszystkie sposoby. y=x³ +x −1 x³+x−1=y³+y+1 x³+x=³+y i teraz nie wiem co robić mogę np. x(x²+1)=y(y²+1) ale to po dalszych przekształceniach nic mi nie daje. Będe wdzięczny za podpowiedź. Pozdrawiam

Kacper: Skorzystaj z definicji funkcji różnowartościowej.

Saizou : N[Kacper]] to już jest zrobione dla x i y x³−y³+x−y=0 i zastosuj a³−y³

Kacper: Ja tutaj widzę tylko zapisy bez komentarza i za takie coś jest 0 punktów. Nikt nie będzie się domyślał "co student miał na myśli"

Maciek: Dziękuję za podpowiedź. Zatem: (x−y)(x² + xy + y² +1) =0 x=y lub x² + xy + y² +1 = 0 Czy drugie równanie trzeba rozwiązywać? Czy wystarczy już, że x=y?

b.: drugie trzeba rozwiązywać, jeśli ma rozwiązania x≠y, to f nie jest różnowartościowa...

Maciek: Na pewno będzie takie rozwiązanie, a odpowiedzi w książkach wskazują, żę jest to funkcja różnowartościowa

b.: na pewno? a rozwiązywałeś? rozwiązań (rzeczywistych) nie będzie

Kacper: trochę inaczej: Pokażemy, że funkcja jest monotoniczna (rosnąca), a z tego wynika już, że jest różnowartościowa. f(x)=x³+x−1 f'(x)=3x²+1 Pochodna jest dodatnia dla każdej liczby rzeczywistej, zatem funkcja f jest rosnąca w R. Zatem funkcja f jest różnowartościowa.

Maciek: Dziękuje Kacper, ale jeszcze nie doszliśmy do pochodnych. Wierzę, że jest to jeden z dobrych sposobów na rozwiązanie owego zadania, jednakże nie sądzę,ażebym to ja był w stanie rozwiązać tak to zadanie. B. mówiąc szczerze, nawet nie wiem jak zabrać się za to, po prostu nie widzi mi się, że końcowym wynikiem będzie x=y. Wydaje mi się, że zostawię to zadanie, bo z resztą idzie mi dobrze, jednakże jak ktoś ma wskazówki to będę wdzięczny! Pozdrawiam.

lolo: Z definicji. Weźmy x₁,x₂∊D_f takie, że f(x₁)=f(x₂). Pokażemy, że prawdziwa jest implikacja f(x₁)=f(x₂) ⇒x₁=x₂. Mamy, zatem: x₁³+x₁−1=x₂³+x₂−1 x₁³+x¹−x₂³−x₂=0 x₁³−x₂³+x₁−x₂=0 (x₁−x₂)(x₁²+x₁x₂+x₂²)+x₁−x₂=0 (x₁−x₂)(x₁²+x₁x₂+x₂²+1)=0 ⇔x₁=x₂ Wobec prawdziwości implikacji f(x₁)=f(x₂) ⇒x₁=x₂ stwierdzamy, że funkcja f jest różnowartościowa.

b.: no tak, tylko tu też brakuje stwierdzenia, że x² + xy + y² +1 = 0 nie ma rozwiązań. Żeby to zauważyć, piszemy np. x² + xy + y² +1 = (x+y/2)² + (3/4)y² + 1 = 0 i teraz widać, że rozwiązań nie ma.

ICSP: f(x) = x³ jest funkcja rosnącą , g(x) = x jest funkcją rosnącą, stąd h(x) = x³ + x jest funkcją rosnąca jako suma dwóch funkcji rosnących. Stała nie wpływa na monotoniczność wiec również i i(x) = x³ + x − 1 jest funkcją rosnąca.