Monotonicznośc ciągu roevs: Sprawdź czy ciąg jest monotoniczny czy ograniczony. a_n=2ⁿ/n! Sprawdzam monotoniczność ciągu: a_n+1 − a_n = 2ⁿ⁺¹/(n+1)! − 2ⁿ/n! = ... = 2ⁿ(1−n)/(n+1)! I teraz tak: czy ciąg jest monotoniczny? Dla n ≥ 1, jeżeli wybierzemy 1 to będzie wartość całości równa 0. A więc nie będzie ani a_n+1 − a_n < 0 ani a_n+1 − a_n > 0. Dla każdej innej wartości n poza n=1 już będzie a_n+1 − a_n < 0. Czy w takim razie ciąg jest monotoniczny czy nie? No i jak teraz obliczyć granicę.

Hurwitz: Chodzi o twierdzenie o zbieżności? Jeżeli tak, to monotoniczność ma być od pewnego n. U Ciebie dla n>1 już jest OK.

roevs: Definicja mówi, że dla każdego n∊N a_n+1 − a_n > 0 lub a_n+1 − a_n < 0, tak więc stąd moja konsternacja czy jest monotoniczny, ale chyba (mogę się mylić) nie jest.

Hurwitz: Jest nierosnący, więc....

Hurwitz: Wracając do zbieżności: aby ciąg nierosnący był zbieżny musi być ograniczony od dołu. Masz jakiś pomysł na takie ograniczenie: a_n > ?

Hurwitz: Jak już pokażesz, że jest zbieżny, zauważ, że

	2
an+1 =		an
	n+1

Skoro a_n → a (tak oznaczam jego granicę), to również a_n+1 → a. Przechodząc w powyższym równaniu do granicy z n→∞ otrzymujesz: a= 0 * a. Stąd lim a_n = a =0.

roevs: Ciąg przez pierwsze dwa wyrazy jest stały, później dopiero malejący. A więc chyba nie jest monotoniczny. Co do granicy to faktycznie, tak to powinno wyglądać.

roevs: Zwracam honor. Nierosnący to również monotoniczny.

Hurwitz: Jeszcze raz: u Ciebie a_n+1−a_n≤0 więc jest nierosnący. Czyli jednak monotoniczny. PS> Myślałem, że masz problem z tym zadaniem...