Wyznacz współrzędne minimum i maksimum funkcji f(x). Pochodne, ekstrema Sandra: Funkcja f(x)= −x³ + (a+1)x² + 12x + b osiąga minimum w punkcie A i maksimum w punkcie B. Wyznacz współrzędne tych punktów, wiedząc, że są one symetryczne względem początku układu współrzędnych. Obliczyłam pochodną z tej funkcji f'(x)=−3x² + 2(a+1)x + 12 i z tego wyszła mi delta 4a² + 8a + 148 i nie wiem co robić dalej...

ICSP: skoro punkty A i B są symetryczne względem początku układu współrzędnych to suma odciętych tych punktów wynosi 0, ale skoro punkty punkty A i B są ekstremami f(x) to odcięte tych punktów są pierwiastkami pochodnej skąd mamy a+ 1 = 0 ⇒ a = −1 Dalej powinno być bez problemów

Sandra: ok, funkcja mi się zredukowała do −3x²+12=0, z tego wyliczyłam dwa pierwiastki x = 2 i x=−2, zarazem współrzędne x tych dwóch punktów, podstawiłam do f(x) i nie wiem co dalej zrobić z b ? po podstawieniu mam współrzędne (−2, −16+b) i (2, 16+b)

ICSP: skoro punkty A (x_a , y_a)i B(x_b , y_b) są symetryczne względem początku układu współrzędnych to f(x_a) = − f(x_b)

anubas: f(x) = −x³ + (a+1)x² + 12x +b A=(x₀,y₀) B=(−x₀,−y₀) (lub odwrotnie, okaże się na końcu) f'(x)=−3x² + 2(a+1)x + 12 Delta pochodnej musi być dodatnia, bo funkcja ma minimum i maximum, więc potrzebujemy dwóch miejsc zerowych. Po wyliczeniu delty wychodzi, że Δ>0 dla a∊R. f'(x₀) = 0 i f'(−x₀) = 0, więc mamy układ równań: 0=−3x₀² + 2(a+1)x₀ + 12 0=−3x₀² − 2(a+1)x₀ + 12 Dodajemy oba równania, wychodzi x₀=2 lub x₀=−2. Wyliczamy a, powinno wyjść a=−1. Teraz podstawiamy x₀ do funkcji: f(2)=y₀=16+b f(−2)=−y₀=−16+b Widać, że b=0. Mamy już całą funkcję, więc pozostaje obliczyć jej wartość dla x=2 i x=−2. Mniejsza z otrzymanych wartości to minimum, większa to maximum, pozostaje dopasować wartości do punktów A i B.