indukcja Hajtowy: Indukcja matematyczna... Wykaż, że... : 1*5*9 + ... + (4n−3) = n(2n−1) 1^o sprawdzenie dla n=1 Wyszło mi, że L=P 2^o Założenie: 1*5*9 + ... + (4n−3) = n(2n−1) Teza: No i mam problem... Co mam w tej tezie zrobić? 1*5*9 + ... + (4n−2) = n(2n−0) ? Mam zapisane, że do n dodajemy 1 ale nie wiem czy mam dobrze zapisane... Indukcję po raz pierwszy robiliśmy na ćwiczeniach i kurde za szybko to było Student nie nadążył i prosi o pomoc

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/strona/1116.html

Hajtowy: No właśnie to sobie otworzyłem Czyli wynika z tego, że teza brzmi: Teza: 1*5*9 + ... + [4 (n+1) −2] = (n+1) * [2 (n+1) − 1] 1*5*9 + ... + (4n−2) = (n+1)(2n+1) tak?

Hajtowy: Tam ma być (4n+2)

ICSP: w ogóle jest złe polecenie, nie widać jakiejś zależności w tym wzorze.

Hajtowy: Wykaż, że dla dowolnej liczby n (n∊N) spełniona jest równość

J : masz mieć; .... + [4(n+1) − 3] = (n+1)[2(n+1) − 1]

Hajtowy: J a nie mogę tego później od razu wymnożyć? Muszę to zostawić w tej postaci?

ICSP: a jak ta równość wygląda? Możesz mi rozpisać lewą stronę dla n = 1, 2 i 3 ?

Hajtowy: I zrobić tak... 1*5*9 + ... + [4(n+1) − 3] = (n+1)[2(n+1) − 1] 1*5*9 + ... + (4n+1) = (n+1)(2n+1)

Hajtowy: n=1 L = 4−1 = 1 P = 1(2*1 − 1) = 1*1 = 1 n=2 L=5 P=6 n=3 L=9 P=15

Hajtowy: Czyli teza wygląda następująco: 1*5*9 + ... + [4(n+1) − 3] = (n+1)[2(n+1) − 1] 1*5*9 + ... + (4n+1) = (n+1)(2n+1) Tak? Bo kurde ja się gubie powoli w tym

ICSP: nawet dobrze przykładu nie możesz przepisać

Hajtowy: Wykaż, że dla dowolnej liczby n (n∊N) spełniona jest równość: 1*5*9 + ... + (4n−3) = n(2n−1) 1^o sprawdzenie dla n=1 Wyszło mi, że L=P 2^o Założenie: 1*5*9 + ... + (4n−3) = n(2n−1) Teza: 1*5*9 + ... + [4(n+1) − 3] = (n+1)[2(n+1) − 1] 1*5*9 + ... + (4n+1) = (n+1)(2n+1) Jestem na tym etapie

ICSP: masz źle przepisany przykład

Hajtowy: Jedyne co to zamiast 1*5*9 może być 1+5+9 ... Wtedy już bedzie git?

ICSP: Wtedy powinno być

Hajtowy: no to załóżmy że jest tam 1+5+9+... Wykaż, że dla dowolnej liczby n (n∊N) spełniona jest równość: 1+5+9+ ... + (4n−3) = n(2n−1) 1^o sprawdzenie dla n=1 L=P 2^o Założenie: 1+5+9+ ... + (4n−3) = n(2n−1) Teza: 1+5+9+ ... + [4(n+1) − 3] = (n+1)[2(n+1) − 1] 1+5+9+ ... + (4n+1) = (n+1)(2n+1) No a teraz jest ok? Co dalej?

ICSP: Zaczynasz od lewej strony tezy i wykorzystując załozenie starasz się dojść do prawej strony L = 1 + 5 + ... + (4n + 1) = 1 + 5 + ... + (4n − 3) + 4n + 1 = // na podstawie założenia // = = ...

Hajtowy: Jeśli teza jest to powinienem teraz dowód przeprowadzać... Czyli, że ... DOWÓD Z założenia indukcyjnego: 1+5+9+ ... + (4n−3)+(4n+1) = n(2n−1) + (2n−1)

ICSP: = n(2n − 1) + (4n + 1) =...

Hajtowy: Kurde... chwila bo nie ogarniam teraz... L = Biorę z założenia: 1+5+9+ ... + (4n−3) Dodaję do tego z tezy: (4n+1) Czyli : 1+5+9+ ... + (4n−3) + (4n+1) = ... Następnie z założenia indukcyjnego: = ... Biorę prawą stronę równania: n(2n−1) Dodaję do tego z tezy: (4n+1) − ale dlaczego to a nie (n+1)(2n+1) A więc mam takie coś: 1+5+9+ ... + (4n−3) + (4n+1) = n(2n−1) + (4n+1) I co mam z tym teraz zrobić? Zad z lekcji ma jakiś skrót myślowy w tym momencie i nwm co teraz...

J : za 1 + 5 + 9 +.. (4n−3) podstaw : n(2n −1) ..

Hajtowy: No to wyjdzie, że L=P

ICSP: i teraz masz to doprowadzić do prawej strony tezy.

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/strona/3413.html − proszę

Hajtowy: No ale jeśli podstawię, za 1 + 5 + 9 +.. (4n−3) ⇒ n(2n−1) To będzie: n(2n−1) + (4n+1) = n(2n−1)+(4n+1) No to tu jest, że L=P Tzn co z tym zrobić?

Hajtowy: Ale, że tak? n(2n−1)+(4n+1)=0 2n²−n + 4n+1 2n²+3n+1 = 0 Δ=9−8=1 √Δ=1

	−3−1
n1=		=−1
	4

	−3+1		−2		1
n2=		=		=−
	4		4		2

ICSP: i zapisz w postaci iloczynowej .

Hajtowy: 2(n+1)(n+0,5)

ICSP: = (n+1)(2n+1) = P dodaj regułkę i zadanie skończone.

Hajtowy: Na podstawie zasady indukcji matematyczne twierdzenie to jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej n. No dobra... ale teraz pokaże przykład, który był na ćwiczeniach i dzięki któremu nie mogę tego wgl ogarnąć

Hajtowy:

	1
1*2*3 + 2*3*4 + .... + n(n+1)(n+2) =		n(n+1)(n+2)(n+3)
	4

1^o sprawdzenie dla n=1 L = P 2^o założenie

	1
1*2*3 + 2*3*4 + .... + n(n+1)(n+2) =		n(n+1)(n+2)(n+3)
	4

teza:

	1
1*2*3 + 2*3*4 + .... + n(n+1)(n+2)+(n+1)(n+2)(n+3) =		n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
	4

dowód: 1*2*3 + 2*3*4 + .... + n(n+1)(n+2) + (n+1)(n+2)(n+3) (to jest to czarne czy niebieskie?) = z założenia indukcyjnego

	1
=		n(n+1)(n+2)(n+3) + (n+1)(n+2)(n+3) (to jest to czarne czy niebieskie?)
	4

= (n+1)(n+2)(n+3)(0,25n +1) = 0,25(n+4)(n+1)(n+2)(n+3) = P L=P Na podstawie zasady indukcji matematyczne twierdzenie to jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej n. Proszę tylko o zaznaczenie kolorami co jest do czego, tak mi jest łatwiej zrozumieć, bo jestem wzrokowcem i to co widzę to pamiętam Bardzo proszę o wyrozumiałość

Hajtowy: 0,25n(n+1)(n+2)(n+3) Tylko skopiowanie zadania i zaznaczenie kolorkami Dużo nie wymagam ale mi to pomoże Z góry dziękuję za pomoc

Saizou :

	1
1•2•3+2•3•4+....+n(n+1)(n+2)=		n(n+1)(n+2)(n+3)
	4

Spr. n=1 L=6 P=6 L=P Założenie indukcyjne dla pewnego n∊N

	1
1•2•3+2•3•4+....+n(n+1)(n+2)=		n(n+1)(n+2)(n+3)
	4

Teza dla n+1

	1
1•2•3+2•3•4+....+n(n+1)(n+2)+(n+1)(n+2)(n+3)=		(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
	4

Dowód L=1•2•3+2•3•4+....+n(n+1)(n+2)+(n+1)(n+2)(n+3)=

1		1
	n(n+1)(n+2)(n+3) +4•		(n+1)(n+2)(n+3)=
4		4

1
	(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
4

Hajtowy: A mam pytanie odnośnie posta z 15:58... Dlaczego ja tam liczyłem deltę? i skąd ja mam tam równanie kwadratowe?

Hajtowy: Eta, Mila, obojętnie już kto... ale pomóżcie

ICSP: nie wiem o co ci teraz chodzi ?

Hajtowy: 15:56 za 1+5+9+...+(4n−3) dałem n(2n−1) Wyszło takie coś: n(2n−1) + (4n+1) = n(2n−1)+(4n+1) No ale z tego wychodzi 0=0 Więc skąd ja tam deltę wytrzasnąłem i równanie kwadratowe?

ICSP: = n(2n−1) + (4n+1) = 2n² − n + 4n + 1 = 2n² + 3n + 1 Po co zapisujesz dwa razy to samo ?

Hajtowy: No i widzisz Już Cię Kocham Wytłumaczyłeś mi coś czego nie pojąłem, bo wszędzie miałem znaki równości Czyli dowód brzmi tak: 1+5+9+...+(4n−3)+(4n+1) = n(2n−1)+(4n+1) Teraz z indukcji matematycznej za 1+5+9+...+(4n−3) podstawiam n(2n−1) i paczam tylko na lewą stronę Wychodzi mi z tego, że: L=n(2n−1) + (4n+1)=2n²+3n+1 ⇔ n=−0,5 v n=−1 ⇔ 2(n+0,5)(n+1) ⇒ (n+1)(2n+1) = TEZIE = P

Hajtowy: No to kolejny przykład

1		1		1		n
	+		+ ... +		=
1*5		5*9		(4n−3)(4n+1)		(4n+1)

1^o sprawdzenie dla n=1 ; L=P 2^o

	1		1		1		n
Założenie:		+		+ ... +		=
	1*5		5*9		(4n−3)(4n+1)		(4n+1)

	1		1		1		n+1
Teza:		+		+ ... +		=
	1*5		5*9		(4n+1)(4n+5)		(4n+5)

Dowód:

1		1		1		1		n
	+		+ ... +		+		=		+
1*5		5*9		(4n−3)(4n+1)		(4n+1)(4n+5)		(4n+1)

	1
	(4n+1)(4n+5)

z założenia indukcyjnego:

n		1
	+		= ...
(4n+1)		(4n+1)(4n+5)

I tutaj stoję Narazie proszę o sprawdzenie i teraz powiedzenie mi co mam zrobić ... wspólny mianownik?

Mila: Wykaż, że dla dowolnej liczby n (n∊N) spełniona jest równość: 1+5+9+ ... + (4n−3) = n(2n−1) 1^o n=1 L=1, P=1*(2*1−1)=1 2^o Zał. ind 1+5+9+ ... + (4n−3) = n(2n−1) T. 1+5+9+...............+(4n−3)+[4*(n+1)−3]=(n+1)*[2*(n+1)−1] L=n(2n−1)+(4n+1)=2n²−n+4n+1=2n²+3n+1 P=(n+1)*(2n+1)=2n²+n+2n+1=2n²+3n+1=L Cnw

ICSP: Wyciągnij przed nawias U{1}{4n + 1]

Hajtowy:

n		1		1
	+		=		(...)
(4n+1)		(4n+1)(4n+5)		(4n+1)

zostaje mi wtedy n z licznika i 4n+5 z mianownika

ICSP: Licz !

Hajtowy:

1
	(n+4) ?
4n+1

ICSP:

Hajtowy: Kurde nie chwila... zaćmienie mam jakieś

ICSP: Widać wyciąganie czynnika przed nawias sprawia Ci problem. Próbuj sprowadzić do wspólnego mianownika.

Hajtowy:

n(4n+5)
	?
(4n+1)(4n+5)

ICSP: a drugi ułamek ?

Hajtowy:

	n
No ale przecież to jest
	4n+1

ICSP: masz sprowadzić do wspólnego mianownika, a nie pisać tylko jeden z ułamków

1		1
	+		= ...
4n + 1		(4n + 1)(4n + 5)

Hajtowy: ... = P zrobiłem! Dzięki ICSP Jesteś wielki! O ile jest dobrze

Hajtowy:

n		1		n(4n+5)		n
	+		=		=
4n+1		(4n+1)(4n+5)		(4n+1)(4n+5)		4n+1

ICSP: hmm 1. Nie umiesz wyciągać przed nawias 2. Nie umiesz sprowadzać do wspólnego mianownika Jesteśmy w kropce

Hajtowy:

n		1		n(4n+1)(4n+5)
	+		=		+
4n+1		(4n+1)(4n+5)		(4n+1)(4n+1)(4n+5)

	4n+1		n(4n+1)(4n+5)+4n+1
		=
	(4n+1)(4n+1)(4n+5)		(4n+1)(4n+1)(4n+5)

eh... po maturze jednak za dużo luzu od matmy było i teraz problemy gimnazjalisty

ICSP:

n		1		1		1
	+		=		( n +		) =
4n + 1		(4n+1) * (4n + 5)		4n + 1		4n + 5

	1		4n2 + 5n + 1
=		*		=
	4n + 1		4n + 5

	1		4n2 + 4n + n + 1
=		*		=
	4n + 1		4n + 5

	1		4n(n+1) + 1(n+1)
=		*		=
	4n + 1		4n + 5

	1		(4n + 1)(n+1)
=		*		=
	4n + 1		4n + 5

	n+1
=		= P
	4n + 5

Na mocy zasady ... Radziłbym Ci powtórzyć wiadomości z liceum.

ICSP:

n		1
	+		=
4n + 1		(4n + 1)(4n + 5)

	n(4n + 5)		1
=		+		=
	(4n + 1)(4n + 5)		(4n + 1)(4n + 5)

	4n2 + 5n + 1
=		= // dalej jak wyżej // = P
	(4n + 1)(4n + 5)

Hajtowy: Zaiste trzeba będzie Dziękuję Ci ślicznie

Saizou : proponuję potem sobie udowodnić wzór na kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego Niech a₁=a₂=1 i a_n+1=a_n+a_n−1 dla n=2,3,5,.... . Zdefiniowany w ten sposób ciąg 1,1,2,5,8,13,21.... to ciąg Fibonacciego. Udowodnij indukcyjnie wzór na n−ty wyraz tego ciągu

	1		1+√5		1−√5
an=		[(		)n+(		)n]
	√5		2		2

Hajtowy: z ciągiem Fibonaacciego miałem do czynienia tylko na informatyce No ale Saizou bez przesady Nie jestem na matematyce

Saizou : to co, ale indukcja to jedna z najważniejszych metod dowodzenia