Zbadać własności funkcji Duszyczka: Udowodnić lub podać kontrprzykład że funkcja f jest różnowartościowa oraz "na" : a)f:R²→R²,f(x,y)=(x+y,x−2y) b)f:R²→R²,f(x,y)=(x+y−1,2^|x|)

Hurwitz: Pierwsze to najłatwiej z macierzy rozwiązać. Macierz odwzorowania f jest nieosobliwa więc jest ono bijekcją (różnowartościowe i na). Drugie nie jest ani takie, ani takie. Pokombinuj przy przykładach.

Maslanek: Różnowartościowość. Zakładamy, że f(x₁,y₁)=f(x₂,y₂). Jeżeli wyjdzie nam, że musi być wtedy (x₁, y₁)=(x₂, y₂), to funkcja jest róznowartościowa. Suriekcja − funkcja "na" Zbiór wartości funkcji musi być całą przeciwdziedziną dla a) suriekcja: Niech (u,v)∊R². Szukamy (x,y)∊R² takiego, że f(x,y)=(u,v) ⇔ (x+y, x−2y)=(u,v) ⇔ x+y=u i x−2y=v Niewątpliwie istnieje taki punkt (x,y), żeby zachodziły powyższe równości jednocześnie. Dowolność punktu (u,v) kończy dowód. dla b) funkcja NIE jest suriekcją Zauważmy, że f=(f₁, f₂) − czyli, że funkcję f można podzielić na dwie funkcje działające po współrzędnych, gdzie f₂(x,y)=2^|x| Od razu widać, że f₂(x,y)>0, co więcej (!) f₂(x,y)≥1. Czyli jak widać ZW_f2=[1,∞)≠ℛ