Uzasadnij, że dla dowolnych liczb a i b prawdziwa jest nierówność mia: Uzasadnij, że dla dowolnych liczb a i b prawdziwa jest nierówność a² + b² + 16 ≥ ab + 4a + 4b

Hurwitz: Np. wszystko na jedną stronę i potraktuj jak funkcję kwadratową zmiennej a. Wówczas jej wyróżnik: Δ_b=(b+4)²−4*(16+b²−4b) =−3(b−4)²≤0. Wniosek:..........................

mia: Dziękuję bardzo : )

PW: Dla zabawy odnotujmy drugi sposób. Badana nierówność jest równoważna następującej:

	1		1		1
		(a2 − 8a +16} +		(b2 − 8b +16) +		(a2−2ab +b2) ≥ 0
	2		2		2

	1		1		1
		(a−4)2 +		(b−4)2 +		(a − b)2 ≥ 0,
	2		2		2

która jest prawdziwa dla wszystkich a i b rzeczywistych.

balab: A mógł bys wytłumaczyć jak to potraktować jak funkcję zmiennej a. (Niewidzę tego)

Mila: a² + b² + 16 ≥ ab + 4a + 4b⇔ (a²−a*b−4a)−4b+16≥0 a=x x²−b*x−4x+b²−4b+16≥0 x²+x*(−b−4)+b²−4b+16≥0 Δ=(−b−4)²−4*(b²−4b+16)=b²+8b+16−4b²+16b−64=−3b²+24b−48= =−3*(b²−8b+16)⇔ Δ=−3*(b−4)²≤0 dla każdego b∊R⇔(a²−a*b−4a)−4b+16≥0 dla każdego a,b∊R