f granica: Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, że:

	2n + 1
lim n −− > ∞		= 2
	n + 1

	2n+ 1
|		− 2| < ε
	n + 1

	2n + 1		2(n +1)
|		−		| < ε
	n + 1		n + 1

	2n + 1 − 2n − 2
|		| < ε
	n + 1

	−1
|		| < ε
	n + 1

|−1|
	< ε
|n + 1|

1
	< ε
n + 1

dobrze ? bo ciągle wyrazy ciągu będą się zmieniać i będą dązyć do zera ?

granica:

PW: Nie możesz argumentować w stylu "bo będą dążyć do zera" (istnienie jednej granicy tłumaczylibyśmy istnieniem drugiej). Dowód z definicji polega na pokazaniu, że począwszy od pewnej liczby n_ε ostatnia nierówność jest spełniona już dla wszystkich n > n_ε . Po prostu trzeba dokończyć rozwiązanie nierówności,wskazując od jakiej liczby naturalnej "już jest dobrze" − nierówność jest spełniona.

granica: mógłbyś dokończyć to zadanie bo nie rozumiem ?

Bogdan: po wymnożeniu obustronnym ostatniej nierówności przez n+1 otrzymujemy: 1 < nε + ε, teraz wydziel n

PW:

	1
n+1 >
	ε

	1
n >		− 1.
	ε

Interesuje nas rozwiązanie w liczbach naturalnych. Pierwszą z liczb naturalnych spełniającą tę nierówność jest

	1		1
[		] + 1 − 1 = [		].
	ε		ε

Rozwiązaniem nierówności

	2n+1
|		− 2| < ε
	n+1

	1
są więc wszystkie n ≥ [		]. Oznacza to spełnienie definicji − liczba 2 jest granicą
	ε

ciągu.

granica: dzięki choć nie wiem czy to zrozumiem

Bogdan: Warto przypomnieć sobie definicję granicy ciągu: lim_n→∞ a_n = g ⇔ ...