kresy klara11: Czy dobrze rozumuje? Wykazać (udowodnić), o ile istnieją kresy zbioru D={^n2+2n−3_n+1:n∊ℕ} pokazałam, że infD=0, minD=0 i jeszcze musze udowodnić, że nie istnieje supD a więc zrobiłam tak: Załóżmy przeciwnie, że istnieje supD. Dla każdego x∊D x≤M ∀x∊D M+1>M≥x≥0 ⇒ M+1>0 ⇒ M+1∊D ⋀ M jest ogr.górnym zb.D ⇒ M+1≤M sprzeczność czy dobrze to udowodniłam?

Hurwitz: Dlaczego M+1∊D? Skoro piszesz, że dla każdego x∊D x≤M to jest właśnie odwrotnie.

Hurwitz: Wystarczy zauważyć, że elementy zbioru D zbiegają do nieskończoności (wraz z n→∞).

klara11: robiłam to na podstawie dowodu ze szkoły i sama juz sie pogubiłam. napisalam to tutaj, bo mam nadzieje ze ktos mi to wyjasni jak to w ogole powinno byc i dlaczego. prosze o pomoc

klara11: ja wiem, ze do nieskonczonosci ale jak udowodnic ze supD nie istnieje.

klara11: nikt więcej nie pomoże?

Hurwitz: To co napisałaś: "Załóżmy przeciwnie, że istnieje supD. Dla każdego x∊D x≤M" jest OK. Dalej, pokaż, że dla x=(n²+2n−3)/(n+1) warunek x≤M nie jest spełniony dla żadnego M (to wynika właśnie z faktu, że (n²+2n−3)/(n+1) →∞). Ostatecznie supD=+∞

klara11: ale jak właśnie pokazać, że dla x=(n²+2n−3)/(n+1) warunek x≤M nie jest spełniony dla żadnego M ?

Hurwitz: Spróbuj rozwiązać nierówność kwadratową (n²+2n−3)/(n+1)≤M. Otrzymasz sprzeczność.

Hurwitz: Tak w ogóle, n²+2n−3=(n−1)(n+3) więc jest łatwiej niż prosto...

klara11: wychodzi mi cos takiego: (n+1)²−4≤M i co w związku z tym?

klara11: czyli (n−1)(n+3) /(n+1)≤M i co w związku z tym?

Hurwitz: (n²+2n−3)/(n+1)≤M ⇔ n²+2n−3≤Mn+M ⇔ n² + (2−M)n −3 − M≤0. Z wykresu funkcji kwadratowej wynika, że ta nierówność może być spełnione jedynie przez skończoną liczbę elementów naturalnych n (ramiona skierowane do góry, a nierówność ≤). Skoro n∊N to wszystkie n jej nie spełnią, czyli nie ma takiego M, aby było dobrze.

klara11: bo ja w swoim rozwizaniu sugerowalam sie rozwizaniem ze szkoly E={x∊ℛ: x>3} i bylo trzeba udowodnić, że zb.E nie jest ograniczony z góry. Rozwizanie szkolne: przypuśćmy przeciwnie, że jest ograniczony z góry. Istnieje wtedy liczba M taka, że ∀x∊E x≤M. Zauważymy, że ∀x∊E M+1>M≥x>3 ⇒ M+1>3 ⇒ M+1∊E ⋀ M ogr gorne E ⇒ M+1≤M sprzeczność Możesz na to spojrzeć i może troche wyjasnic? i czemu tego rozwizania nie moge zastosowac w przykładzie poprzednim?

klara11: a za tamto poprzednie bardzo dziękuję. bardzo fajnie wyjaśniłeś, na prawdę pomogłeś

Hurwitz: Tu M+1∊E bo tak właśnie był zbiór zdefiniowany (tj. x>3). U ciebie jest trochę inaczej: z faktu, że liczba x∊D nie wynika, że x+1∊D.

klara11: ok, na prawdę dzięki! a jeszcze jedno bo teraz mam taki zbiór A={ ^nk_1+n+k≥1/3 : n,k ∊ℕ} wiem, już że infA=1/3 czyli rownież minA=1/3 i jak udowodnic ze supA nie istnieje, bo tutaj bedzie troche inaczej niz w przykladzie ze zbiorem D

Hurwitz: Chciałabyś, aby dla wszystkich k,n∊N było: nk≤M +M(n+k) Skoro dla wszystkich to i dla k=n. Masz więc; n²≤M+2Mn. Teraz jak poprzednio − znowu funkcja kwadratowa i ≤

klara11: jeszcze jedno (ostatnie!) musze pokazac w tym przykładzie, że: nk/1+n+k≥1/3 (to z war. na min zbA)