wyr. algebraiczne hela: wyznacz wszystkie liczby pierwsze p, q, r, które spełniają warunek: pqr=5(p+q+r) proszę o rozwiąznie i rozpisanie co po kolei zrobić

hela:

PW: Po lewej stronie jest iloczyn trzech liczb pierwszych, a po prawej − iloczyn liczby pierwszej 5 oraz liczby (p+q+r). Z jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze wynika, że ani chybi jedna z liczb p, q, r jest równa 5. A dalej sobie poradzisz.

hela: rozwiązując "na brudno" założyłam, że p=5 ale staje w pewnym momencie i nie wiem co dalej. może pomożesz? 5qr=5(5+q+r)/:5 qr=5+q+r qr−q=r−5 q(r−1)=r+1−6 co dalej?

PW: Po drugiej linijce Twojej powinno być qr−q−r+1 = 6

hela: qr−q−r+1 = 6 q(r−1)−(r−1)=6 dobrze? co zrobić teraz?

Kacper: Wyznacz q względem r lub odwrotnie.

hela: ale w jaki sposób?

hela:

PW: Aż się prosi, żeby wyłączyć (r−1) przed nawias. Przecież to zadanie o rozkładzie na czynniki piwerwsze, mając iloczyn możemy wyciągać wnioski o czynnikach.

hela: (q−1)(r−1)=6 q−1=1−−−>q=2 r−1=6−−>r=7 p=5 dobrze?

PW: 6 może być na 2 sposoby przedstawiona jako iloczyn (bez uwzględniania kolejności czynników): 1·6 = 2·3 = 6, a więc nie wszystkie możliwości jeszcze rozpatrzyłaś. Trzeba to zrobić, a dopiero potem ewentualnie odrzucić takie, które nie dają liczb pierwszych.

hela: ależ rozpatrzyłam je. q może wynosić 3, 4, 7, a r=4, 3 bądź 2. wybrałam te z liczbami pierwszymi

PW: Niech Ci będzie. Pamiętaj jednak, że zasadniczych rozważań nie prowadzi się "w rozumie". W tym wypadku straciłabyś punkt na egzaminie − właśnie z powodu pominięcia drugiej możliwości (to nic, że odpowiedź się nie zmieni).

lwg: Lewik=Prawik, więc piąteczka musi dzielić iloczynek pqr. 'Przez' (bez) szkody dla ogólności, niech 5=p. A gdzie warunek, że mamy wyznaczyć (p,q,r)? Skoro go nie ma, to ganz egal, przyjmujemy, że q<r ⇒ q+s=r. Mamy: qr=q(q+s)=5+q+q+s=5+2q+s ⇒ q²+(s−2)q−(5+s)=0. Δ=s²−4s+4+20+4s=s²+24=t². Ponieważ 24=t²−s², to k∊{2,4}, gdyż musi tak być, że parzysty podzielniczek k<√24, to t=(24+2²)/(2*2)=7 i s=7−2=5) lub (t=24+4²)/(2*4)=5 i s=5−4=1). Jeżeli s=1, to √Δ=√25=(plus lub minus)5, przeto q=(1+5)/2=3, przeto q+s=3+1=4=r − aut. Jeżeli s=5, to √Δ=√49=(plus minus)7, więc q=(1+7)/2=4 − aut. Zatem dalej nic dla nas nie istnieje. Wcześniej, dla q=2 i s=5, r=7. qr=2*7=5+q+q+s=5+2+2+5=14. Odp. [p,q,r]=[5,2,7]. Uważam, że tylko to jedno. <><><><><><><> Jednakże formalnie: (pqr)=(5,7,2) lub (pqr)=(5,2,7).

lwg: pqr=5(p+q+r) ⇒ (p=5 i qr=5+q+r) ⇒ [q+s=r i qr=q(q+s)=5+q+q+s=5+2q+s] ⇒ q²+(s−2)q−(5+s)=0. Δ=s²−4s+4+20+4s=s²+24=t². 24=t²−s² ⇒ k∊{2,4}, bo k<√24, gdzie k jest podzielnikiem naturalnym 24. t=(24+2²)/(2*2)=7 i s=7−2=5) lub (t=24+4²)/(2*4)=5 i s=5−4=1). Jeżeli s=1, to √Δ=√25=±5, przeto q=(1+5)/2=3, przeto q+s=3+1=4=r − aut. Jeżeli s=5, to √Δ=√49=±7, przeto q=(−3+7)/2=2, przeto q+s=2+5=7. [5,2,7] ⇒ odpowiedź: (p,q,r) ∊ {(2,5,7), (2,7,5), (5,2,7), (5,7,2), (7,2,5), (7,5,2)}.

PW: Drogi lwg, nie pytali o wszystkie rozwiązania równania, lecz o wszystkie liczby pierwsze. Odpowiedź to zbiór trzech liczb (ani wektor, ani zbiór uporządkowanych par). Nie mąć dziecku w głowie.

lwg: pqr=5(p+q+r) ⇒ (p=5 i qr=5+q+r) ⇒ [q+s=r i qr=q(q+s)=5+q+q+s=5+2q+s] ⇒ q²+(s−2)q−(5+s)=0. Δ=s²−4s+4+20+4s=s²+24=t². 24=t²−s² ⇒ k∊{2,4}, bo k<√24, gdzie k jest podzielnikiem naturalnym 24. t=(24+22)/(2*2)=7 i s=7−2=5) lub (t=24+42)/(2*4)=5 i s=5−4=1). Jeżeli s=1, to √Δ=√25=±5, przeto q=(1+5)/2=3, przeto q+s=3+1=4=r − aut. Jeżeli s=5, to √Δ=√49=±7, przeto q=(−3+7)/2=2, przeto q+s=2+5=7. [5,2,7] ⇒ odpowiedź: (p,q,r) ∊ {(2,5,7), (2,7,5), (5,2,7), (5,7,2), (7,2,5), (7,5,2)}. <><><><><><><><><><><> Wyznacz wszystkie rozwiązania naturalne dodatnie (wystarczy w N+, bo np. na wyspach brytyjskich doba jest dłuższa, niż w RP − mają więc czas na zabawę w zbiorze Z) równania. Pewien znakomity profesor dr hab.: 400=20²=(2uv)² ⇔ [(u=10 i v=1) lub (u=5 i v =2)]. Stąd 400=101²−99²=29²−21². Panie Profesorze, a gdzie 52⁻48²=25²−15² = 400 ? Profesor z niezłym ślugiem: NO CÓŻ, PROFESOR TEŻ WSZYSTKIEGO NIE WIE OD RAZU. 400=z²−y^. k ∊ {2, 4, 8,10}, gdyż ilorazy też muszą być parzyste 400/2, 400/4, 400/8, 400/10. Oczywiście k < √400 i z − y = k. Wyznaczymy tylko rozwiązania brakujące. [z = (400 + 4²)/(2*4) = 52 i y = (400 − 4²)/(2*4) = 48] lub [z = (400 + 10²)/(2*10) = 25 i y = z − k = 25 − 10 = 15. Niestety kotoś się nie bał i to pierwszeństwo mi zajebał. Ale to nie dowód WTF. I nie dowód The Andy Beal Conjecture. Miejmy nadzieję, że tego drugiego dowodu nie pod3,14 ier/lą.

lwg: Do PW. Twoja poprawka nie stoi w sprzeczności z poleceniem. Dzieci dziękują Ci za to. W takim razie wyznaczmy te liczby. Oto one: p,q,r ∊ {2,5,7}. Nie jest Twoją winą, że lubisz innych poprawiać. Na pewno przeważnie masz rację, ale nie zawsze jest ona elegancka. Nie zawsze musisz mieć rację, co do metodyki. Należało podkreślić, że Autor zadania powinien zapytać o wszyskie rozwiązania [p,q,r] (takie jest tylko jedno) zawarte w zbiorze liczb pierwszych P oraz o wszystkie uporządkowane trójki (nie pary) rozwiązań.

lwg: Do PW. Z drugiej strony to również jest niezłe, a może nawet na tym poziomie lepsze: (q−1)(r−1)=6, itd.