injekcja i surjekcja Arek_900: Cześć, Potrzebuję pomocy przy jednym przykładzie z surjekcji i injekcji. Polecenie jest następujące: zbadaj injektywność oraz surjektywność w R{2} −> R{2} m(x,y) = (x + 2y, 3x−4y) n(x,y) = (x+y, x*y) Czy ktoś powiedzieć jak podejść do tego zadania to zadanie?

Arek_900: Oczywiście chodziło mi o R² −> R²

PW: A po polsku wiesz o co pytają? Bo rzecz trąci o śmieszność.

Arek_900: Wybaczcie, pisałem z tabletu Chodzi oczywiście o iniekcje i surjekcje funkcji. Kombinowałem z punktem (0,0) i wydaje mi się, że nie spełnia on w tym przypadku warunku, z czego wynika, że funkcja nie jest ani iniekcją ani surjekcją.

PW: Matematyki nie da się tak opowiadać. Nawet nie napisałeś, o której z tych funkcji mówisz "nie spełnia on w tym przypadku warunku". Przeczytaj jeszcze raz co napisałeś i postaw sobie ocenę. Ja wiem, jestem stary maruda, ale przeczytaj jeszcze raz co to jest injekcja i zastanów się, dlaczego pisałem, że rzecz trąci o śmieszność.

Arek_900: No dobra, na spokojnie. Weźmy funkcję m(x,y) = (x + 2y, 3x−4y) Injekcja to inaczej różnowartościowość, czyli w każdym punkcie nasza funkcja ma inną wartość czyli jeśli przetniemy wykres funkcji ma on co najwyżej 1 punkt czyli co najwyżej 1 rozwiązanie. W surjekcji rozwiązanie ma po prostu istnieć. Hmm, ale mam odwzorowanie określone w R² i także w wartościach R². Czyli chyba w tym tkwi haczyk w przypadku injekcji?

PW: No to badamy tę różnowartościowość. Bierzemy (x₁,y₁) ≠ (x₂, y₂) i badamy, kiedy m(x₁,y₁) = m(x₂,y₂), to znaczy (x₁+2y₁, 3x₁−4y₁) = (x₂+2y₂, 3x₂−4y₂), czyli

	⎧	x1+2y1 = x2+2y2
	⎩	3x1−4y1=3x2−4y2

	⎧	(x1−x2 = −2(y1−y2)
	⎩	x1−x2 = (4/3)(y1−y2)	.

Z ostatniego układu wynika, że gdyby x₂≠x₁ lub y₂≠y₁, to otrzymalibyśmy sprzeczność (obie strony nieujemne, dzielimy stronami przez siebie). Przypuszczenie, że x₂≠x₁ lub y₂≠y₁ prowadzi do sprzeczności, było więc fałszywe. Wniosek: jeżeli (x₁,y₁) ≠ (x₂, y₂), to m(x₁,y₁) ≠ m(x₂,y₂).

Arek_900: Czyli w tym przypadku mamy injekcję. Mamy także surjekcję bo rozpatrujemy ją w R²? Analogicznie drugi podpunkt: n(x,y) = (x₁+y₁, x₂*y₂) (x₁+y₁, x₁*y₁) = (x₂+y₂, x₂*y₂) x₁+y₁ = x₂+y₂ x₁*y₁ = x₂*y₂ x₁ = x₂+y₂ − y₁ x₁ = (x₂*y₂)/y₁ Czyli podobnie jak w poprzednim podpunkcie otrzymujemy sprzeczność, czyli funkcja jest injekcją. Tak?