zadania - dowody Blue: Porcja zadanek na dziś ^^ Mam 4 zadania na dowodzenie ( 3 zrobiłam − bardzo bym prosiła o sprawdzenie, a 1 nie umiem zrobić): zad.1 Równanie kwadratowe ax² +bx+c=0 ma dwa pierwiastki, z których jeden jest iloczynem drugiego przez liczbę n , n∊{1,2,3,...}. Wykaż, że:

	(n+1)2
b2 =		*ac
	n

zad.2 Udowodnij, że dla dowolnej wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania: 5x² +12m²x +3x −3m² −1=0 jest mniejsza od 4. Moje rozwiązanie: http://i59.tinypic.com/2vl1o2f.jpg http://i60.tinypic.com/2ev5cfc.jpg zad.3 Udowodnij, że równanie

	π
cos2xsinx+√3sin2x+2sinx = 3tg
	3

nie ma rozwiązań. Moje rozwiązanie: http://i61.tinypic.com/5ybv2r.jpg zad.4 (tego nie umiem) Udowodnij, że każda liczba rzeczywista x spełnia nierówność:

	4
log2		≤ logx2+22
	x2+2

Próbowałam to przekształcać tym wzorem na zmianę podstawy logarytmu, jednak nic mi nie wyszło z tego... Bardzo proszę o ocenę i pomoc w zadaniu 4

J: zad.4 ... a co dokładnie jest z prawej strony ..?

Blue: J o co Ci chodzi Nie możesz rozszyfrować o jaki logarytm chodzi? x²+2 jest w podstawie

Janek191:

	4
log2		= log2 4 − log 2( x2 + 2) = 2 − logx2 + 2 2 ≤ logx2 + 2 2
	x2 + 2

2 ≤ 2 log_{x² + 2} 2 2 ≤ log_{x² + 2} 4

J:

	1
..no to tak: ... log24 − log2(x2+2) ≤		... teraz podstaw:
	log2(x2+2)

log₂(x²+2) = t

	1
....dostaniesz :2 − t ≤		.... i działaj...
	t

Janek191: Pomyłka Miało być

	1
... = log2 4 − log2 ( x2 + 2) = 2 −		≤ logx2 + 2 2
	logx2 + 2 2

t = log_{x² + 2} 2

	1
2 −		≤ t
	t

Kacper: to z logarytmem to banał na początek dziedzina :R

	4
log2		≤logx2+22
	x2+2

	4		1
log2		≤
	x2+2		log2(x2+2)

	1
2−log2(x2+2)≤
	log2(x2+2)

log₂(x²+2)=t oraz t>0 (bo x²+2>1)

	1
2−t≤
	t

(2−t)t−1≤0 2t−t²−1≤0 (t−1)²≥0 Przekształcenia były równoważne, a ponieważ ostatnia nierówność jest zawsze prawdziwa to i wyjściowa także. c.n.u.

Blue: Dziękuję Wam bardzo ! Rzeczywiście proste, nie wiem, dlaczego nie wpadłam na to, że można tam wykorzystać ten wzór A powie mi jeszcze ktoś czy zadania 1,2,3 są dobrze rozwiązane

Kacper: Pod koniec 2 jest napisana głupota. Najpierw masz nierówność potem nagle równanie...

Kacper: 3 chyba ok (tzn zerknąłem na sam dół tylko i liczę, że reszta była dobrze)

Blue: Kacper, ale to nie jest żadna głupota, ja liczę pierwiastki

Blue: A co z zadaniem 1?

Kacper: Po prostu nie podoba mi się zapis, a ja jestem bardzo czepliwy. Co ma brak pierwiastków do rozwiązania nierówności? Nie tylko to o tym decyduje.

Blue: no to, że a jest ujemne ^^ Muszę to pisać Cała parabola jest pod osią OX A co z zadaniem 1?

pigor: . Równanie kwadratowe ax²+bx+c=0 ma dwa pierwiastki, z których jeden jest iloczynem drugiego przez liczbę n , n∊{1,2,3,...}. Wykaż, żeb²= ¹_n (n+1)²ac. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ..., np. tak : z warunków zadania istnieją 2 pierwiastkix, nx takie, że ax²+bx+c=0 i an²x²+bnx+c=0 /− stronami ⇒ ⇒ (an²−a)x²+(bn−b)x=0 i (*) ax²+bx+c=0 ⇒ a(n²−1)x+b(n−1)=0 i n≠1 ⇒

	−b
⇒ a(n+1)x+b=0 ⇒ x=		i z (*)
	a (n+1)

	ab2		b2
		−		+ c= 0 /* a(n+1)2 ⇔
	a2(n+1)2		a(n+1)

⇒ b² − b²(n+1)+ ac(n+1)²= 0 ⇔ b²(1−n−1)+ ac(n+1)²= 0 ⇒ ⇒ −nb² + ac(n+1)²= 0 ⇒ b²= ¹_n (n+1)²ac c.n.w. ...

Blue: Dzięki Pigor, ale chyba moje rozwiązanie też mogłoby być, nie?

pigor: nie wiem, bo nie linkuję

Blue: a powie mi ktoś inny czy może być?

Eta: ax²+bx+c=0 pierwiastki równania : x , xn ( bez indeksów ze wzorów Viete^'a

	−b		−b		b2
x+xn=		⇒ x=		⇒ x2=
	a		a(n+1)		a2(n+1)2

	c		c
x*xn=		⇒ x2=
	a		an

	b2		c		(n+1)2
zatem		=		⇒ b2=		*ac
	a2(n+1)2		an		n

Blue: Ja też właśnie to ze wzorów Viete'a liczyłam ^^ Czyli pewnie mam dobrze...