Hurwitz: Najpierw sprawdź, że
| 1 | | 1 | | 2 | |
| − |
| = |
| |
| 2k−1 | | 2k+1 | | (2k−1)(2k+1) | |
Stąd:
∑1/ [ (2k−1)(2k+1)=1/2[∑(1/(2k−1) − 1/ (2k+1))]
Rozbijasz to co sumujesz:
∑(1/(2k−1) − 1/ (2k+1)) = 1/1 − 1/3 + 1/3 − 1/5 +...+ 1/(2n−1) − 1/(2n+1),
wszystkie składniki się redukują za wyjątkiem pierwszego i ostatniego, tj.
∑1/ [ (2k−1)(2k+1)=(1− 1/(2n+1)) = 2n/ (2n+1)
Przed sumą była 1/2 więc OK.