Ciagi M: Pierwiastkami wielomianu W(x) = x³+px² +44x+q są trzy liczby tworzące ciąg arytmetyczny. Wiedząc, że suma pierwiastków wielomianu jest równa 12, oblicz wartości parametrów p i q oraz pierwiastki wielomianu W(x).

AcidRock: Podpowiedź:

	p
x1 + x2 + x3 = −		(ze wzoru Viète'a)
	1

Mat: Wywnioskowałem że suma trzech pierwiastków również równa jest −b/a? Tak jest w nieskończoność? Wiedziałem tylko dla 2...

mat-fiz: (x+a)(x+b)(x+c)= (x²+xb+xa+ab)(x+c)=x³+x²c+x^b+xbc+x^a+xac+abx+abc= =x³+x²(c+b+a)+x(bc+ac+ab)+abc (c+b+a)=p (bc+ac+ab)=q a+b+c=12 a+c=2b bc+ac+ab=44 3b=12 a+c=2b bc+ac+ab=44 b=4 a+c=2b bc+ac+ab=44 b=4 a+c=8 b(a+c)+ac=44 b=4 a+c=8 32+ac=44 b=4 a=8−c ac=12 b=4 a=8−c c²−8c+12=0 Δ=64−48=16 √Δ=4 c1=2 c2=6 b=4 b=4 a=6 lub a=2 c=2 c=6 q=abc=48 p=a+b+c=12

Eta: Pierwiastki tworzące ciąg arytmetyczny : x₁=a−r, x₂=a, x₃=a+r,gdzie r −− różnica ciagu ze wzorów Viete^'a dla wielomianu stopnia trzeciego: x₁+x₂+x₃= −p i x₁*x₂+x₁*x₃+x₂*x₃= 44 i x₁*x₂*x₃= −q a−r+a+a+r= −p =12 ⇒ p= −12 i z treści zadania a−r+a+a+r=12 ⇒ [ a= 4]] zatem pierwiastkami są : 4−r, 4, 4+r (4−r)*4+(4+r)*4+(4−r)(4+r)= 44 ⇒ ....... r²=4 ⇒ r=2 v r= −2 czyli pierwiastkami wielomianu są : x=6 v x= 4 v x= 2 6*4*2= −q to q= −48 i sprawdzając : 4*6+4*2+6*2= 44 czyli ok

Eta: W zadaniu pytają o p i q zatem można wyznaczyć q bez obliczania pozostałych pierwiastków znamy p= −12 i x₁=4 i w(x)= x³−12x²+44x+q W(4)=0 ⇒ 64−12*16=44*4+q=0 ⇒ q = −48

Eta: Poprawiam chochlika : W(4)=0 ⇒ 64−12*16 +44*4+q=0