Pokazać że dla każdego n naturalnego takiego, że n≥5 zachodzi 2^n > n^2 biedny student: Pokazać że dla każdego n naturalnego takiego, że n≥5 zachodzi 2ⁿ > n² Nierówność jest prawdziwa bo 2⁵>5² Muszę pokazać 2⁽n+1)>(n+1)² Korzystam z założenia indukcyjnego : 2⁽n+1) = 2ⁿ x 2 > 2n² = n² + n² i nie wiem co dalej, w odpowiedzi pisze że wystarczy tylko sprawdzić że n²≥2n+1 dla n≥5 ale dlaczego ? czy mógłby to ktoś łopatologicznie wytłumaczyć ?

biedny student: Muszę pokazać 2⁽n+1)>(n+1)² Korzystam z założenia indukcyjnego : 2⁽n+1) = 2ⁿ x 2 > 2n² = n² + n²

3Slinia&6: bo 2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ * 2 = 2ⁿ + 2ⁿ a (n+1)² = n² + 2n + 1 wiemy ,ze 2ⁿ > n² , zostalo 2ⁿ >= 2n + 1

PW: student, pytasz dlaczego n² > 2n +1 dla n≥5? Rozwiąż tę nierówność, najlepiej korzystając z ukochanej delty (gdzieś na boku). W dowodzie indukcyjnym napisz 2ⁿ⁺¹ = 2·2² > 2n² (co wynika z założenia indukcyjnego) = n² + n² > n²+2n+1 = (n+1)² (ostania nierówność wynika z oczywistej nierówności n² > 2n + 1 − dowód na boku).

lwg: For n=0 we get 1 > 0. For n = 1 we get 2 > 1. Huśtaweczka. For n = 2 we get 4 = 4. For n = 3 we obtain 8 < 9. For n = 4 we have 16 = 16. For n = 5 it must be 32 > 25. Theorem 1. For all n ∊ N₅: 2ⁿ > n². Proof. Without loss of the proof we can assume that for all k ∊ N: 2^6+k > (6+k)². Thus − For all k ∊ {0,2,4,...}: 2^(6+k)/2 > 6+k ⇒ 2 + 2^k/2 > k, and For all k ∊ {1,3,5,...}: 2^(6+k)/2 > 6+k ⇒ 2 + 2^k/2 > k. This is the proof.

lwg: Dla każdego n ∊ N₅: {2ⁿ > n² ⇒ [2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ + 2ⁿ > 2n² = n² + n² > (n+1)² = n² + 2n + 1]} ⇒ n² > 2n + 1, c.n.w.

biedny student: PW mógłbyś wytłumaczyć tę oczywistą nierówność n2 > 2n + 1 ? coś takiego ? n² − 2n − 1 > 0 (n−1)² − 2 > 0 (n−1)² > 2 ......

biedny student: skąd wiemy że n² + n² > n²+2n+1 = (n+1)² czy nie to mamy udowodnić ? to jest nasza teza chyba i nie powinnismy z niej korzystać w trakcie przeprowadzania dowodu, dobrze myślę ?

lwg: Powiesz biedaczyno studencie: PANIE LESZKU, MA BYĆ, JAK NA DŁONI. Nie potępiam, nie potępiam. Lubisz być chwalony.