Podzielność artflo: Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 2⁶ⁿ⁺¹ + 9ⁿ⁺¹jest podzielna przez 11.

ICSP: Na początek zauważmy, że : 2⁶ = 64 ≡ (−2) mod 11 // ⁿ 2⁶ⁿ ≡ (−2)ⁿ mod 11 oraz : 9 ≡ (−2) mod 11 mamy : 2^{6n + 1} + 9ⁿ⁺¹ ≡ 2⁶ⁿ⁺¹ + (−2)ⁿ⁺¹ ≡ 2(2⁶ⁿ − (−2)ⁿ) ≡ 0 mod 11 c,n.w.

Janek191: Indukcja matematyczna: 1) n = 1 2⁷ + 9² = 128 + 81 = 209 = 11*19 2) Zakładamy, że liczba 2^{6n + 1} + 9^{n +1} jest podzielna przez 11 dla dowolnej n ∊ℕ₁, czyli 2^{6 n + 1} + 9^{n + 1} = 11 t , gdzie t ∊ ℕ₁ więc 2^{6 n + 1} = 11 t − 9^{n +1} Mamy pokazać, że z podzielności liczby 2^{6 n +1} + 9ⁿ⁺¹ przez 11 wynika podzielność liczby 2 ^{6*( n +1)+1} + 9 ^{( n +1) +1} przez 11 Mamy zatem 2^{6n +6 +1} + 9^{( n + 1) + 1}= 2⁶* 2 ^{6 n +1} + 9*9^{n + 1} = 64*2 ^{6 n +1} + 9*9^{n +1}= = ( z założenia indukcyjnego ) 64*( 11 t − 9 ^{n + 1}) + 9*9^{n + 1} = = 11*64 t − 64*9^{n +1} + 9*9^{n +1} = 11*64 t − 55*9^{n + 1} = 11*( 64 t − 5*9^{n +1}) = 11*s gdzie s ∊ ℕ₁ czyli na mocy indukcji matematycznej liczba 2^{6 n +1} + 9 ^{n + 1} jest podzielna przez 11. ckd. ======= Ta liczba jest podzielna przez 11 również dla n = 0 , bo 2¹ + 9¹ = 11 −−−−−−−−−−−