kresy Krystek10: Korzystając z definicji kresów wykazać, że

	1
inf(1 +		; n ∊ N} = 1
	n

Jak sie robi zadania takiego typu ? cos z ∀∊>0 ∃x∊A m + ∊ > a ? Proszę o podpowiedź

PW: Tu akurat bardzo prosto: Każda liczba z badanego zbioru jest większa od 1:

	1
(1) 1 +		> 1.
	n

Liczba 1 jest więc ograniczeniem z dołu tego zbioru. Weźmy dowolną ε > 0 i zbadajmy, czy 1 + ε też jest ograniczeniem z dołu:

	1
(2) 1 +		> 1 + ε .
	n

O ile nierówność (1) była oczywista − spełniona dla wszystkich n∊N\{0}, to nierówność (2) musimy rozwiązać:

	1
		> ε
	n

	1
n <
	ε

Rozwiązaniem tej nierówności nie są wszystkie liczby naturalne − spełniają ją tylko liczby od 1

	1
do [		] − co oznacza, że 1 + ε nie jest ograniczeniem z dołu badanego zbioru −
	ε

nieskończenie wiele elementów tego zbioru nie spełnia nierówności (2) (przepraszam za masło maślane, ale nie wiem, w którym momencie występuje trudność).. Wniosek: Liczba 1 jest największym ograniczeniem z dołu, czyli kresem dolnym zbioru. Uwaga: W powyższym rozumowaniu zakładaliśmy, że 0 < ε < 1, dla ε ≥ 1 nie ma co badać − liczba 1 + ε byłaby większa od wszystkich elementów zbioru, a więc na pewno nie byłaby ograniczeniem z dołu.

Kris: Dzieki PW, troche mi rozjasniles sposob rozwiazywania tego typu zadan, nie wiem jednak jak sie zabrac za sup { x ∊ Q ; x > 0 i x² < 2} = √2

Kris: tu Krystek jakby co

PW: Analogicznie, korzystając tym razem z definicji supremum. Pokazać, że 1. wszystkie elementy zbioru są mniejsze od √2 2. liczba √2 nie da się polepszyć, to znaczy każda mniejsza od niej już nie jest ograniczeniem z góry dla badanego zbioru. 1. oczywiste, ale pokazać trzeba i wypowiedzieć wniosek: √2 jest ograniczeniem z góry. 2. Bierzemy dowolną ε > 0 i pokazujemy, że √2 − ε nie jest ograniczeniem z góry dla wszystkich elementów zbioru, po prostu rozwiązujemy układ nierówności x² < 2 ∧ 0 < x < √2 − ε by pokazać, że nie wszystkie elementy zbioru spełniają nierówność x < √2 − ε, czyli że każda liczba mniejsza od √2 już nie jest ograniczeniem z góry, co oznacza, że √2 jest najmniejszym ograniczeniem z góry (supremum).