pomocy czesio1296:

	n3		n2		n
Uzasadnij,że dla każdej liczby naturalnej liczby n liczba		+		+		jest
	6		2		3

liczbą całkowitą

sushi_gg6397228: zrób wspolny mianownik

Mila:

n3+3n2+2n		n*(n+1)*(n+2)
	=
6		6

w liczniku masz iloczyn 3 kolejnych liczb naturalnych. Wnioski?

Saizou : Pokażmy to indukcyjnie • sprawdźmy dla n=1

1		1		1		6
	+		+		=		=1 ok
6		2		3		6

• założenie indukcyjne

	n3		n2		n
załóżmy że ∃c∊Z		+		+		=c
	6		2		3

• teza indukcyjna

	(n+1)3		(n+1)2		n+1
pokażmy, że ∃k∊Z		+		+		=k
	6		2		3

Dowód tezy indukcyjnej:

(n+1)3

(n+1)2

n+1

n3+3n2+3n+1

n2+2n+1

n+1

L=

+

+

=

+

+

=

6

2

3

6

2

3

n3+3n2+3n+1+3n2+6n+3+2n+2		n3+6n2+11n+6
	=
6		6

przekształcając założenie indukcyjne

n3		n2		n
	+		+		=c
6		2		3

n3+3n2+2n
	=c
6

n³+3n²+2n=6c n³+3n²=6c−2n wracając do dowodu:

n3+6n2+11n+6		n3+3n2+3n2+11n+6		6c−2n+3n2+11n+6
	=		=		=
6		6		6

6c+3n2+9n+6		6c+3(n2+3n+2)		6c+3(n+2)(n+1)
	=		=		=k
6		6		6

Wobec zasady indukcji matematycznej powyższe stwierdzenie jest prawdziwe a tak na prawdę pokazujemy podzielność 6 l n³+3n²+2n czy to jest ok ?

Eta:

Saizou : Czyli jest ok ? tak, bo już wątpię

ICSP: a skąd wiesz, ze k jest całkowite ?

Saizou : bo 6c+3(n+2)(n+1) jest podzielne przez 6 ,bo 3(n+2)(n+1) jest iloczynem 3 i 2−kolejnych liczb naturalnych, z których jedna na pewno dzieli się przez 2, czyli iloczyn 3*2=6

ICSP: jaki jest sens prowadzenia dowodu indukcyjnego skoro na końcu korzystasz z faktu który od razu załatwi całe zadanie ? k! | (k kolejnych liczb całkowitych )

Saizou : czyli gdybym jeszcze pokazał że 6 l 3(n+2)(n+1) za pomocą indukcji to powyższy dowód byłby ok ?

ICSP: Nie musi być za pomocą indukcji

Saizou : wiem, ale muszę to ćwiczyć, jutro się wezmę za nierówności przy pomocy indukcji, bo już wczoraj o to prosiłem, ale już nie chciało mi się nad tym siedziec

Mila: Jest to strzelanie do wróbla z armaty, ale piszę. Np. tak: 1) zrobiłeś 2)zał. ind. dla n=k

k*(k+1)*(k+2)
	=m, ⇔k*(k+1)*(k+2)=6m, gdzie m∊N
6

Wykażemy, że :

(k+1)*(k+2)*(k+3)
	=u, gdzie u∊N⇔
6

(k+1)*(k+2)*(k+3)=6u, gdzie u∊N⇔ [(k+1)*(k+3)]*(k+2)=[(k+1)*k+3*(k+1)]*(k+2)= =k*(k+1)*(k+2)+3*(k+1)*(k+2)=6m+6p=6*(m+p)=6u, gdzie u=m+p∊N 6m z zał. ind. 3*(k+1)*(k+2) iloczyn liczby 3 i liczby parzystej ( jedna z liczb (k+1), (k+2) jest parzysta ) jest liczba podzielną przez 6 cnw