logarytmy, ciągi... Blue: Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n) o różnicy r=log_0,5k. Dla jakiej wartości parametru k ciąg (b_n), gdzie b_n=2^a_n, jest malejącym ciągiem geometrycznym A więc skoro bn ma być ciągiem malejącym, to an również ciągiem malejącym? W takim razie r<0, czyli wychodzi na to, że k∊(1,∞). W odpowiedzi mam jednak na odwrót k∊(0,1). Czyżbym coś pomyliła?

...: szukasz k ... a Twoje k jest pod logarytmem o podstawie zawierającej się między 0 a 1

Blue: czyli r musi być większe od zera Ale dlaczego? Ja myślałam, że ma być mniejsze..

...: ... nie w tym problem

...: założenie dla logarytmu ....k>0

	bn+1
ale skoro ciąg geometryczny ma być malejący to		<1
	bn

2an+1
	<1 ⇒ 2a{n+1}−an<1 ⇒ 2log0,5k<1
2an

⇒ log_0,5k<0 ⇒ k<1 (patrz na wykres f(x)=log_0,5x) w sumie więc 0<k<1

...: skopałem

...: oczywiście log_0,5k<0 dla k>1 i wychodzi "na Twoje" −

Blue: ... − ale w odpowiedziach jest x∊(0,1), więc chyba jednak ja nie mam racji

Blue: Mógłby to ktoś wyjaśnić?

Kacper: (a_n) − ciąg arytmetyczny o różnicy r=log_0,5k (b_n) − ciąg geometryczny malejący b_n=2^a_n Wiemy zatem, że

bn+1		2an+1
	<1 ⇒		<1 ⇒2an+1−an <1 ⇒2log0,5k <1
bn		2an

Rozwiązujemy nierówność: 2^log_0,5k <1 2^log_0,5k<2⁰ log_0,5k<0 log_0,5k<log_0,51 k>1

Blue: Dzięki Kacper Jednak czy jesteś pewien tego rozwiązania? Bo ja w odpowiedziach mam inaczej.

Kacper: A potrafisz wstawić wartość k=1/2 do zadania i sprawdzić czy spełnia warunki zadania?

Blue: nie znam wzoru na a+{n} więc za bardzo tego nie wstawie, tak czy inaczej zgadzam się z Tobą, ale po prostu się upewniam, bo "Nowa Era" rzadko popełnia błędy w odp.

Blue: a_n *poprawka

Kacper: Nie rozumiesz. k=0,5 (zgodnie z odpowiedzią jest to pasująca wartość) r=log_0,50,5=1 Badam monotoniczność ciągu (b_n)

2an+1
	=2an+1−an=21=2
2an

	2an+1
Czy		jest mniejsze od 1?
	2an

Czy ciąg jest malejący?

Blue: Albo dobra, i tak mogę to sprawdzić podstawiając, masz rację, już widzę

===: ... a po co Ci a_n ...skoro w wyliczeniach ono się redukuje. Udowodnij sobie, że np dla k=4 ciąg geometryczny jest malejący

Blue: Tak Kacper, ciąg nie jest wtedy malejący, masz rację, już rozumiem Jest wtedy rosnący, dzięki wielkie