indukcja jerey: korzystając z zasady indukcji matetatycznej wykazac,ze dla kazdego x>0 prawdziwa jest nierównosc:

	1		1		1
(1+2+3+...+x)(1+		+		+...+		)≥x2
	2		3		x

sprawdzam nierównosc dla x=1 1*(1)=1² L=P zakładam, ze wzor jest słuszny dla x≥1

	1		1		1
(1+2+3+...+x)(1+		+		+...+		)≥x2
	2		3		x

prawdziwośc wzoru dla x+1

	1		1		1		1		1		1
(1+2+3+...+x)(1+		+		+		)+(1+2+3+...x+(x+1))(1+		+		+...		+
	2		3		x		2		3		x

	1
		)≥(x+1)2
	x+1

i teraz mam problem z pokazaniem prawdziwosci tej nierównosci. Moze mi ktos pomoc?

jerey: podbijam

WueR: Ale masz dowiesc czegos innego.

jerey: dobra, to moze inaczej.

	1		1		1
mam pokazac słusznośc wozoru (1+2+3+...+x)(1+		+		+...+		)≥x2
	2		3		x

dla x+1.

WueR: Nie. Przyjmujesz slusznosc tego wzoru dla dowolnego x∊N. Na podstawie tego masz dowiescw prawdziwosci:

	1		1		1
(1+2+...+x+(x+1))(1+		+ ... +		+		) ≥ (x+1)2
	2		x		x+1

jerey: no z tym mam problem własnie, udowodnieniem tej prawdziwosci.

WueR: Juz pisze.

WueR:

	x(x+1)		1
Zalozenie:		(1 + ... +		) ≥ x2
	2		x

	x(x+1)		1
Teza: [		+ (x+1)](1 + ... +		) ≥ x2 + 2x +1
	2		1+x

Mamy:

	x(x+1)		1		x(x+1)		1
[		+ (x+1)](1 + ... +		) =		(1 + ... +		) + (x+1)(1 + ...
	2		1+x		2		1+x

	1
+		) =
	1+x

	x(x+1)		1		x(x+1)	1		1
=		(1 + ... +		) +			+ (x+1)(1 + ... +		) ≥ (zal.)
	2		x		2	x+1		1+x

	x
≥ x2 +		+ (x+1) + 2(x+1) + ... + 1 ≥ x2 + 2x + 1
	2

jerey: dzięki

jerey: korzystałes tutaj ze wzoru na sumę wyrazów c arytmetycznego?

WueR: Tak. Zreszta rowniez infukcyjnie mozna pokazac, ze:

	x(x+1)
1 + 2 + ... + x =		dla dowolnego x∊N.
	2

WueR: Indukcyjnie*

jerey: widzisz, twój wpis duzo mi juz rozjaśnił, powoli chyba zaczynam to łapac dzieki wielkie!