zadania maturalne Blue: Mam trzy zadania, z którymi mam problem: zad.1 Uzasadnij, że dla dowolnych liczb a i b prawdziwa jest nierówność: a² +b²+16≥ ab+4a+4b zad.2 Uzasadnij, że dla dowolnych liczb x i y prawdziwa jest nierówność 9x⁴+y⁴+6≥12xy zad.3 Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n>2 liczba n⁴+n²+1 jest liczbą złożoną. (Błagam, tylko nie zarzucajcie mi, że nie znam wzorów skróconego mnożenia... po prostu nie wiem, jak to przekształcić...)

Mila: 1 i 2 było, szukaj. 3) (n⁴+1)+n²= (n²+1)²−2n²+n²=(n²+1)²−n²=(n²+1−n)*(n²+1+n)∊N dla n>2 i n∊N i n²−n+1>1 i n²+n+1>2 Liczba n⁴+n² jest iloczynem dwóch różnych liczb naturalnych wiekszych od 1, zatem jest liczbą złożoną.

Kacper: pierwsze a²+b²+16≥ab+4a+4b |*2 2a²+2b²+32−2ab−8a−8b≥0 (a−b)²+(a−4)²+(b−4)²≥0 c.n.u

Kacper: Blue masz rozwiązanie 2? Bo ja jakiegoś prostego pomysłu na nie nie mam

Blue: Mila i Kacper − dzięki za rozwiązanie zad.1 i 3 Kacper− no właśnie nie mam, gdybym miała, to bym tutaj go nie wrzucała

Blue: Nie mogę nigdzie na forum znaleźć tego 2 Może ktoś pokusiłby się jednak o rozwiązanie?

Piotr 10: Ja spróbuję

Blue: Mila a czy to n²−n+1 nie jest większe nawet od 3

Blue: Piotr czekam z niecierpliwością ^^

raz dwa trzy56:

raz dwa trzy56: prawdziwa nierownosc to jest to co napisales

Mila: Jest. Wystarczy jednak, że jest to iloczyn liczb naturalnych większych od 1.

Mila: Na drugie też mam skomplikowany sposób− funkcja dwóch zmiennych. Cierpliwości , coś się wymyśli.

Blue: ok, będę czekać, mam nadzieję, że o mnie nie zapomnicie

Kacper: Mila czyli taki sposób jak i ja

PW: 6 = 3 + 3 i zastosować nierówność między średnimi dla 4 składników?

Mila: Ładny sposób PW.

Mila: Blue, skorzystałaś z podpowiedzi PW?

Blue: nierówność między średnimi dla 4 składników − co masz na myśli?

PW: Jak zwykle.

Blue: Co jak zwykle...?

Mila: a, b− nieujemne, to

a+b
	≥√a*b
2

9x4+y4+3+3
	≥4√9*x4*y4*3*3
4

9x4+y4+3+3
	≥3|x|*|y| /*4
4

9x⁴+y⁴+6≥12|x|*|y|≥12x*y⇔ 9x⁴+y⁴+6≥12xy

Blue: O kurcze, pierwszy raz coś takiego widzę, z czego wynika ta nierówność?

PW: Na pytanie "Co jak zwykle?" nie odpowiem. Powinnaś się domyślić.

pigor: ..., Uzasadnij, że dla dowolnych liczb x i y prawdziwa jest nierówność 9x⁴+y⁴+6 ≥12xy. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ..., np. tak : 9x⁴+y⁴+6 ≥12xy ⇔ (3x²)²−2*3x²y²+y⁴+ 6x²y²−12xy.+6 ≥0 ⇔ ⇔ (3x²−y²)²+ 6(x²y²−2xy.+1) ≥0 ⇔ (3x²−y²)²+ 6(xy−1)² ≥0 c.n.w.

PW: pigor, majstersztyk.

pigor: ... , kurde, a to tylko dlatego, że wyszedłem z założenia, że na pewno.nie może być trudne

PW: Nie jest trudne, gdy widzi się wynik. Ale pokaż mi ucznia, który to wymyśli. Wiem, że tacy są, ja spotkałem ... jednego. Na pewno nie jest to zadanie na maturę, byłaby totalna klęska.

Mila: Ze średnią wielu naszych byłych maturzystów forumowych zrobiłoby, no myślę, że te zadania takie dają, aby trochę maturzyści pomęczyli się, to więcej zapamiętają.

Blue: Pigor −jesteś genialny ^^

pigor: ..., oj daleko mi do tego i ... dobrze jest mi z tym

PW: Dla rozrywki podam jeszcze jeden możliwy (i chyba najłatwiejszy) sposób rozwiązania. Dla y = 0 lub x = 0 nierówność (1) 9x⁴ + y⁴ +6 ≥ 12xy jest prawdziwa, załóżmy więc że x i y nie są zerami. wówczas y = kx, gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą różną od zera. Nierówność (1) przy takim oznaczeniu przyjmie postać (2) 9x⁴ + k⁴x⁴ + 6 ≥ 12kx², czyli stanie się zwykłą nierównością "dwukwadratową": (3) (9+k⁴)x⁴ − 12kx² + 6 ≥ 0. Wyróżnik Δ zależy od parametru k: (4) Δ = 144k² − 4(9+k⁴)·6 = − 24k⁴ + 144k − 216. Funkcja "dwukwadratowa" zmiennej k (5) Δ(k) = − 24k⁴ + 144k − 216 ma wyróżnik Δ_k równy zeru: Δ_k = 144² − 4(−24)(−216) = 20736 − 20736 = 0. Równość ta oznacza, że funkcja (5) przyjmuje tylko wartości niedodatnie, czyli wyróżnik dla funkcji po lewej stronie (3) jest niedodatni, a więc nierówność (3) jest prawdziwa dla wszystkich x i wszystkich k, co kończy dowód nierówności (1). Z całą świadomością mówię, że jest to najłatwiejszy z dowodów − przecież wszystko załatwia ukochana delta

PW: Poprawka: w (4) i (5) zżarło mi potęgę: powinno być 144k² (funkcja "dwukwadratowa").