ciag Uwa: Oblicz, które wyrazy ciągu nieskończonego (an), gdzie an = ⁿ _2n−1 są oddalone od liczby ¹₂ o mniej niż ¹₁₀. Wiem jak to obliczyc −> |ⁿ_2n−1 − ¹₂| < ¹₁₀ jednak mam problem bo ciągle wychodzi mi zły wynik. Czy ktos moze pomoc?

Kacper: pokaż rachunki

5-latek: W module sprowadz do wspolnego mianownika

	2n−(2n−1)		1
|		| <
	2(2n−1)		10

Uwa: Źle sprowadzalem do wspolnego mnianownika. Jednak teraz, kiedy już jest poprawnie, to w olbizeniach wychodzi mi n>2,5 zaś powinno wyjść n>25, co robię źle? Obliczam to tak: ... ¹_4n−1 − teraz rozumiem mogę się pozbyć tego −1? ¹_4n < ¹₁₀ 1<¹₁₀*4n n>2,5 Gdzie robię błąd?

5-latek:

	1		1
|		|<
	4n−2		10

Uwa: No tak, rzeczywiście. Powinno być tak, jak napisałeś. Jednak czy tej −2 i tak się nie pozbywamy, by zostało samo |¹_4n|?

Uwa: UP Jeżeli ktoś wie dlaczego wychodzi mi błędny wynik, to bardzo bym prosił o pomoc

PW: Pozbywanie się tej −1 z mianownika na zasadzie pominięcia jest błędem. Pominięcie −1 oznacza powiększenie mianownika, a więc w tym wypadku zmniejszenie ułamka. Jest zatem ryzyko, że nierówność

	1		1
		<
	4n		10

będzie prawdziwa, podczas gdy nierówność

	1		1
		<
	4n−1		10

− była fałszywa. Nie mówię o szczegółach tego zadania, ale o zasadzie szacowania.. Trzeba było po prostu wymnożyć w poprawnej wersji (moduł pomijamy, bo wyrażenie jest dodatnie): 10 < 4n −2, skąd 12 < 4n n > 3.

Uwa: No dobrze, jednak wynik powinien wyjśc n>25, ponieważ w opdowiedziach jest, że wyrazy ciągu

	1		1
począwszy od a26, a27.... są oddalne od liczy		o mniej niż		.
	2		10

Do tego, w podręczniku mam opisane zadanie, w którymm trzeba wykazać, że ciąg nieskończony an=

	2n2+3
		jest zbieżny do 2. Sposób liczenia taki sam, tj: |an−g|<ε i w pewnym
	n2+5n

	10n−3		10n		10n
momencie dostajemy		<		<		(tutaj akurat rozumiem,
	n2+5n		n2+5n		n2

	10
skracamy n) =		. Na jakiej zasadzie wygląda pozbywanie się tych elementów?
	n

Uwa: Mam nadzieję, że zrozumiesz. Dodam, że jest to zagadnienie z granic ciągu liczbowego.

PW: Uwa, wierzysz w rozumowanie, czy w to co ktoś napisał bez argumentacji (na zasadzie suchej odpowiedzi)? W tym momencie przestaję się zajmować Twoimi problemami, bo i tak lepiej wiesz.

Uwa: Ależ ja nic nie napisałem, że wiem lepiej. Tylko po prostu już się zamieszałem, skoro podręcznik pokazuje mi taki sposób wykonywania zadań. Podręcznik jako źródło mojej nauki raczej nie powinien pokazywać źle, więc zastanawiałem się na jakiej zasadzie to jest tam tak wykonane.

PW: Nie wierzysz w rozumowanie − trzeba wziąć kalkulator i liczyć wyrazy ciągu dla n=4, 5, 6, 7,...,

	1		1
odejmować od tego		i porównywać do		.
	2		10

Wiem, gdzie jest błąd: albo źle przepisałeś polecenie (powinno być "(...) o mniej niż

	1
		" − wtedy odpowiedź w książce jest poprawna), albo w książce jest błąd. Domyślanie
	100

	1
się takich rzeczy nie jest obowiązkiem udzielających porad. Pytałeś o		− taką
	10

uzyskałeś odpowiedź.

Uwa:

	1
W książce jest		, w takim razie jest tam błąd. Jednak czy mógłbyś mi powiedzieć czy to
	10

usuwanie elementów w tym przykładzie, który opisałem wyżej ma jakieś uzasadnienie? Czy to kolejny błąd autora? Wybacz, że zawracam Ci głowę, jednak cholera sam już nie wiem jak to odebrać.

PW: To są oczywiste nierówności 10n − 3 < 10n. Z dodatnim mianownikiem otrzymamy nierówność "w tę samą stronę":\

	10n−3		10n
		<		.
	n2+5		n2+5

Ostatni ułamek jest dodatni, jeżeli zmniejszymy jego mianownik tak, żeby nadal był dodatni, to wartość ułamka wzrośnie. Można to sobie uzmysłowić na prostym przykładzie:

	3		3
		<		.
	17		16

Jest to oczywiście do wyliczenia, ale tutaj po prostu posługujemy się zasadą: "mianownik mniejszy − ułamek wzrasta" (dotyczy tylko ułamków dodatnich). Na tej zasadzie można napisać nierówność

	10n		10n
		<		.
	n2+5		n2

Lepiej unikać sformułowań typu "usuwanie elementu", "opuszczanie dwójki". Myślmy w kategoriach zwiększania (zmniejszania) mianownika, zmniejszania (zwiększania) licznika. Nie ma uniwersalnego przepisu − o ile zmniejszyć (zwiększyć) mianownik. Najczęściej robimy to tak, żeby uzyskać nierówność "w pożądaną stronę" i żeby mianownik był dla naszych celów "ładniejszy" − rządzi tu cel, czyli oszacowanie ułamka przez z góry znaną liczbę lub jakieś łatwiejsze wyrażenie.

Uwa: Oooo, dziękuję Ci bardzo za tą wypowiedź! O to mi własnie chodziło, w takim razie dzięki raz jeszcze i sorry za to lekkie zamieszanie.