Monotoniczność i ekstrema john2: Zbadaj monotoniczność i znajdź ekstrema lokalne funkcji f(x) = √1−x². 1) Dziedzina x∊<−1,1>

	x
2) f'(x) = −
	√1−x2

Dziedzina pochodnej x∊(−1,1) 3) Szukam kandydatów na ekstrema:

	x
−		= 0
	√1−x2

x = 0 4) Badam, kiedy f'(x) > 0

	x
−		> 0
	√1−x2

x < 0 4) Badam, kiedy f'(x) < 0

	x
−		> 0
	√1−x2

x > 0 5) Odpowiedź: funkcja rośnie dla x ∊ (−1,0) funkcja maleje dla x ∊ (0,1) Funkcja osiąga maksimum w punkcie (0,1) PYTANIE: Jak zbadać, co się dzieje z funkcją f(x) w punktach x = −1 i x = 1, skoro pochodna nic mi nie chce o nich powiedzieć

J: .... widać pochodna się obraziła, ... a może policz granice przy x → −1⁺ oraz prxy x → 1⁻

john2: lim_x−>−1⁺ √1−x² = 0 lim_x−>1⁻ √1−x² = 0 Co teraz?

john2: Mam rozumieć, że ostatecznie funkcja rośnie dla x∊<−1,0) i maleje dla x ∊ (0,−1> ?

J: Nic... zaspokoiłeś swoją ciekawość ... w zadaniu masz tylko monotoniczność i ekstrema..

john2: poprawiam: maleje dla x ∊ (0,1>

J: ... no i posiada ekstremum ..

john2: Hmm. Autor zadania twierdzi, że rośnie dla x ∊ (−1,0) i maleje dla x∊(0,1), ale rozumiem, że to zaniedbanie z jego strony. Dzięki za pomoc.

Kacper: Nie po prostu to twierdzenie rachunku różniczkowego określa monotoniczność w przedziale otwartym zawsze. Natomiast korzystając z definicji można niekiedy niektóre końce przedziału domknąć.

john2: Czyli obie wersje odpowiedzi są poprawne?

Kacper: Ja zawsze staram się uwzględniać "największy" przedział i gdzie się da, to domykam. Natomiast na studiach podaje się przedziały otwarte w 99%

john2: Ok. Dzięki.

john2: Ciekawe tylko, co się stanie, jak trafi się sytuacja, w której dziedzina pochodnej będzie "bardziej węższa" od dziedziny funkcji niż w tym przykładzie, kiedy to nie będzie już kwestia domkniętego nawiasu, a jakichś większych przedziałów.