Równanie-sinusy humbak: Rozwiąż równanie:

	π		π
sinx + sin		=sin(x+		)
	6		6

Próbowałem to rozwiązać stosując wzór na sinus sumy kątów, podnieść wszystko do kwadratu, zamienić wszystkie sin² na 1−cos², podstawić t pod cosx, ale wtedy w delcie pojawiają się √3, co uniemożliwia mi zakończenie zadania. Bardzo proszę o rady!

Mila:

	π		1
sinx−sin(x+		)=−		i skorzystaj z wzoru na różnicę sinusów
	6		2

humbak:

	4
Udaje mi się doprowadzić to do postaci cosx+sinx=		, a korzystanie ze wzoru na
	√6−√2

sumę cos i sin nie przynosi rezultatów(i tak zawsze powraca do postaci cosx+sinx). Napiszę po kolei co robię od momentu podanego przez Milę:

	π   x−x−   6		π   2x+   6		1
2sin		cos		=−
	2		2		2

	π		1
−2sin15cos(x+		)=−
	12		2

	π
(√6−√2)cos(x+		)=1
	12

Wydaje mi się, że do tego momentu jest całkiem dobrze, ale nie wiem co robić dalej. Gdy dzielę

	π		√6+√2
przez ten nawias z pierwiastkami zostaje mi cos(x+		)=		co potrafię
	12		4

doprowadzić do podanej na początku postaci. Ktoś wie co robię źle?

PW: Chcesz się zamęczyć. Trzeba zmienić koncepcję, skoro takie paskudne rachunki. Spróbuj

	π		π
sinx = sin(x+		) − sin
	6		6

	x		x
2sin		cos		= 2sin...
	2		2

Mila: Dobrze jest.

√6+√2		π
	=cos
4		12

	π		π
cos(x+		)=cos
	12		12

	π		π		π		π
x+		=		+2kπ lub x+		=−		+2kπ
	12		12		12		12

	π
x=2kπ lub x=−		+2kπ
	6

==================

PW: Milu, oczywiście nie mówiłem, że jest źle, ale mało kto kojarzy takie wartości kątów. Dlatego zaproponowałem sposób mniej kłopotliwy rachunkowo.

	π
Psychologicznie patrząc warto się zawsze zastanowić: autor napisał sin		− chyba nie
	6

sprawdza, czy znam taką wartość − pewnie lepiej się powstrzymać.

#banasz: a rozwiazanie @PW jak dokonczyc ?

	π		π
sin x = sin(x+		) − sin
	6		6

	x		x		x		π   x+   3
2sin		cos		= 2sin		cos
	2		2		2		2

	x		π   x+   3
cos		= cos
	2		2

	x		x		π
cos		= cos(		+		)
	2		2		6

x		x		π		x		x		π
	+ 4kπ =		+		v −		+ 4kπ =		+		v sin{x}{2} = 0
2		2		6		2		2		6

	π		−π
4kπ =		v x =		+ 4kπ v x =2kπ, ale wynik sie nie pokrywa.
	6		6

Mila: Zgadzam się, że Twoja propozycja jest lepsza, ale też tam jest pewien niuans. Na pewno autor zadania sprawdzi. Pozdrawiam

Mila: Później napiszę . Teraz będę zajęta.

PW: To 4π nie podoba mi się. Może najpierw "teoretycznie": cosα = cosβ ⇔

#banasz:

	x
4π to okres dla		, dla 2π bedzie ok.
	2

#banasz: Wiem o co chodzi.

Mila:

	π		π
sin(x)=sin(x+		)−sin(		)
	6		6

	x		x		π   π   x+ +   6   6		π   π   x+ −   6   6
2sin		*cos		=2*cos(		)*sin(		)
	2		2		2		2

	x		x		x		π		x
2sin		*cos		=2*cos(		+		)*sin(		)⇔
	2		2		2		6		2

	x		x		x		π		x
sin(		)*cos		−cos(		+		)*sin(		)=0⇔
	2		2		2		6		2

	x		x		x		π
sin(		)*(cos		−cos(		+		))=0⇔
	2		2		2		6

	x		x		x		π
sin(		)=0 lub cos		=cos(		+		)⇔
	2		2		2		6

x

x

x

π

x

x

π

=kπ lub

=

+

+2kπ lub

=−

−

)+2kπ⇔

2

2

2

6

2

2

6

	π		π
x=2kπ lub 0=		+2kπ sprzeczność dla k∊C lub x=−		+2kπ
	6		6