Asymptoty ukośne john2: Asymptoty ukośne. Jak stwierdzić, czy asymptota ukośna jest jednostronna, czy prawostronna, czy obustronna? Przerabiam kurs e−trapez i nie ma tam wzmianki o tym. Odpowiedzi do zadań są tego typu: "y=0 jest równaniem asymptoty poziomej przy x −> ± ∞". Zaś przy pionowych jest określone, czy asymptota jest prawo−, lewo− czy obustronna.

J: .... do asymptoty pionowej x zmierza albo od lewej strony → x_o⁻ , albo od prawej →x_o⁺

john2: Tak, ale co z ukośnymi. Weźmy wykresu funkcji:

	1
y =
	x+5

	1
y=
	x2

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%28x+%2B+5%29 http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2Fx^2 Widać, że w pierwszym przypadku wykres "podchodzi" do asymptoty poziomej z obu stron, zaś w drugim tylko z dołu. Jak określić bez rysowania "ilustronna" jest asymptota?

john2: tylko z góry, znaczy się

john2: W zasadzie źle sformułowałem pytanie. Jeszcze raz: Jak określić, czy asymptota ukośna jest jednostronna, czy obustronna?

J: ... w przypadku asymptot ukośnych ... jeśli istnieją granice skiończone:

	f(x)
limx→+∞		= a , limx→+∞[f(x)−ax] = b .... asymptota ukośna prawostronna
	x

	f(x)
limx→−∞		= a , limx→−∞[f(x)−ax] = b .... asymptota ukośna prawostronna
	x

J: ... oczywiście w drugim przypadku ... lewostronna.

daras: Pomyśl chwilę zanim zadasz znowu to samo pytanie. KSoro asymptota jest dwustronna, to muszą istnieć obustronne granice, do których dąży ta funkcja a jesli tylko jednostronna, to tylko jedna z nich: lewo lub prawostronna granica. TO przeciez proste drogi Watsonie !

john2: Daras, wiem o tym, ale jakoś nie umiem tego faktu powiązać z moją wątpliwością. Chodzi mi o to, kiedy wykres zbliża się z góry, a kiedy z dołu do asymptoty, powiedzmy, poziomej.

	1
Weźmy: y =
	x+5

	f(x)		1   x+5		1
limx−> +∞		= limx−> +∞		= limx−> +∞		= 0
	x		x		x(x+5)

	1
limx−> +∞ (f(x) −ax) = limx−> +∞		= 0
	x+5

To samo wychodzi przy lim_{x−> −∞} Z tego wynika, że mamy asymptotę poziomą y = 0, przy x−>± ∞ Rozumiem, że wraz z x −> ∞ i x −> −∞ wykres zbliża się do prostej y=0, ale nie wiem, czy z góry, czy z dołu, czy z obu stron. Na wykresie widać, że i z góry, i z dołu.

	1
Weźmy: y =
	x2

	f(x)		1   x2		1
limx−> +∞		= limx−> +∞		= limx−> +∞		= 0
	x		x		x3

	1
limx−> +∞ (f(x) −ax) = = limx−> +∞		= 0
	x2

To samo wychodzi przy lim_{x−> −∞} Ten sam przypadek, jak w pierwszym, jednak wykres jest tylko nad prostą y = 0. Wiem, w tym prostym przypadku, można znaleźć zbiór wartości funkcji, i wiemy, że muszą być dodatnie. Ale co z bardziej skomplikowanymi funkcjami.

PW: Jeżeli już wiesz, że prosta y = ax+b jest asymptotą wykresu funkcji f dla x→+∞ i chcesz wiedzieć, czy wykres jest położony nad tą prostą, czy pod, czy też może "wężykiem" przecina prostą i raz jest wyżej, a raz niżej − to nie ma innej razy, jak rozwiązać nierówność f(x) > ax+b.

john2:

	1
Rozumiem, tylko jeszcze takie pytanie, jeśli chodzi o asymptotę poziomą y =		.
	x2

y = 0 Czy jest ona obustronna, czy jednostronna? Bo ja patrzę poprzez analogię do asymptot pionowych. Gdy mam asymptotę x = 0 i wykres zmierza do niej z jednej i z drugiej strony, to mam obustronną. Teraz przy y = 0 Jak wykres zmierza z góry do asymptoty i z dołu, to jest wtedy obustronna. Czy to rozumowanie jest błędne?

PW: Nie o to idzie, "obustronna" w przypadku asymptoty poziomej może być skrótem myślowym do stwierdzenia, że lim_x→−∞f(x) = lim_x→+∞f(x) = b (b − stała, w ostatnim przykładzie b=0). Lepiej unikać takich określeń i pisać wyraźnie: prosta y = b jest asymptotą wykresu funkcji f dla x→−∞ i dla x→+∞. Definicja asymptoty nie zajmuje się tym, co Cię intryguje − nie rozstrzyga, czy wykres znajduje się nad, czy pod prostą.

john2: Ok. Dziękuję PW, J i daras.