Wykaż prawdziwość lematu Licealistka: Jeśli x+y∊ℚ i x*y∊ℚ, to xⁿ+yⁿ∊ℚ dla każdego x∊ℕ. Proszę o wykazanie tego lematu poprzez indukcję matematyczną.

PW: Dla n = 1 nie trzeba sprawdzać, x¹+y¹ ∊ ℚ jest założeniem. Sprawdźmy na wszelki wypadek dla n = 2: (x+y)² ∊ ℚ jako kwadrat liczby wymiernej. Jednocześnie (x+y)² = x² + y² + 2xy x² + y² = (x+y)² − 2xy, xy∊Q z założenia, zatem x² + y² jest wymierna jako różnica dwóch wymiernych. Założenie indukcyjne. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n = k i dla n = k − 1, to znaczy x^k + y^k ∊ ℚ i x^{k − 1} + y^k−1 ∊ ℚ . Teza indukcyjna. Twierdzenie jest prawdziwe dla liczby następnej po k, to znaczy x^k+1 + y^k+1 ∊ ℚ . Dowód: x^k+1 + y^k+1 = (x+y)(x^k + y^k) − xy(x^k−1 + y^k−1) ∊ ℚ, co wynika z faktu, że (x+y)∊ ℚ, xy∊ ℚ oraz z założenia indukcyjnego. Jeżeli nick Licealistka odpowiada rzeczywistemu statusowi, to pewien kłopot będzie nastręczać zastosowanie zmodyfikowanej nieco wersji zasady indukcji (zakładającej prawdziwość twierdzenia dla dwóch poprzednich liczb naturalnych).