geom. anatlityczna xyz123: Znaleźć równania rzutu prostej L: x = 1 − t, y = 2t, z = −t, t∊R, na płaszczyznę H: x + 2y + 3z − 6 = 0. Odp. w książce : x = 12/7 − s, y = 2s, z = 10/7 − s, s∊R. Mnie wychodzi : x = 5/14 − t, y = 5/7 + 2t, z = 15/14 − t. Proszę o pomoc.

WueR: Trzeba znalezc dwa punkty nalezace do rzutu. Bedziemy wtedy w stanie utworzyc wektor kierunkowy szukanej prostej. Jako jeden mozna przyjac punkt przeciecia L i H. Pozniej mozna utworzyc prosta prostopadla do H (jej wektor kierunkowy mamy za darmo) i przecinajaca sie z L i z kolei znalezc jej punkt przeciecia z H − to bedzie ten drugi punkt.

xyz123: Dziękuję Ci za odpowiedź, jednak w tym przypadku nie jest ona dokładnie tym o co proszę, bo jakiś sposób rozwiązania znam, a ponadto w tym przypadku prosta jest równoległa do płaszczyzny. Bardziej chodzi mi o niezgodność mojego wyniku z wynikiem z książki.

Mila: Wektor kierunkowy masz dobry.

	5		15
Jednak punkt (		,U{5,7},		) nie leży na płaszczyźnie H, a powinien.
	14		14

Sprawdź rachunki. Możesz zaczepić wektor w innym punkcie niż podano w odpowiedzi. Możesz sprawdzić też czy ten punkt leży na prostej podanej w odpowiedzi. Ja mam prostą : k:

	5
x=		−t
	14

	19
y=		+2t
	7

	1
z=		−t
	14

	5		19		1
Sprawdzam, czy A'=(		,		,		) leży na prostej
	14		7		14

x = 12/7 − s, y = 2s, z = 10/7 − s, s∊R

5		12		5		24		19
	=		−s⇔		−		=−s⇔
14		7		14		14		14

19		19
	=2s⇔s=
7		14

1		10		1		20		19
	=		−s⇔		−		=−s⇔s=
14		7		14		14		14

A'∊k

pigor: ..., widzę to tak : dana pr. L: (x,y,z)=(1−t,2t,−t), jej w.kierunkowy u=[−1,2,−1] i P=(1,0,0)∊L: dana pł. H: x+2y+3z−6=0, jej w.normalny n=[1,2,3] to il. wektorowy v=u x n= [−1,2,−1] x [1,2,3]= ...=[8,2,−4]= 2 [4,1,−2] , zarazem wektor normalny płaszczyzny H₁⊥H przez daną prostą L, która okazuje się równoległa do płaszczyzny H (dlaczego ) , zatem H₁: 4(x−1)+1(y−0)−2(z−0)=0 ⇔ 4x+y−2z−4=0 − równanie płaszczyzny rzutującej prosta L na płaszczyznę H ; mamy więc L': H i H' : x+2y+3z−6=0 i 4x+y−2z−4=0 − szukaną prostą − rzut L na H w postaci krawędziowej , więc dalej n₁= [1,2,3] x [4,1,−2]= ...= [−7,14,−7]= 7[−1,2 niech y=0 , to x+3z=6 /*2 i 2x−z=2 ⇔ 2x+6z=12 i 2x−z=2 /− stronami ⇔ ⇔ 7z=10 i x=6−3z ⇔ z=¹⁾₇ i x=¹²₇ , wtedy (x,y,z)= (¹²₇−s, 0+2s, ¹²₇−s)= (¹²₇−s, 2s, ¹²₇−s) , s∊R − − szukana prosta rzut danej L na H w postaci parametrycznej . ...

pigor: ... kurde nie tam mam przecież z=¹⁰₇ i poza tym wszystko zgodnie z odp. książkową także powinienem skasować zaczęte liczenie tego drugiego iloczynu wektorowego, bo dana prosta L || H ; przepraszam ..

Mila: No mamy rozbieżność?

xyz123: Wektor kierunkowy szukanego rzutu nie jest żadnym problemem skoro prosta L jest prostopadła do płaszczyzny H, bo jest nim właśnie wektor kierunkowy prostej L. Natomiast problem jest ze znalezieniem dowolnego punktu na płaszczyźnie H. Ja próbuje w ten sposób : 1) biorę z równania prostej punkt, który do niej należy tzn. P(1,0,0) 2) szukany przeze mnie punkt na płaszczyźnie H to punkt Q(a,b,c) i chcę go znaleźć za pomocą tego żeby on był rzutem punktu P na płaszczyznę H 3) wektor QP jest równoległy (liniowo zależny) do wektora v, który jest wektorem normalnym do płaszczyzny H. Z tego mam, że : QP = nv gdzie n to jakaś liczba rzeczywista 4) wektor QP = [1 − a, −b, −c] wektor vv = [n, 2n, 3n] z QP = nv mam to : a = 1 − n, b = −2n, c = −3n 5) potem podstawiam współrzędne punktu Q do równania płaszczyzny (bo przecież ten punkt ma należeć więc spełnia jej równanie) i dostaje n = − 5/14 6) Q( 19/14, 5/7, 15/14) 7) szukana prosta: x= 19/14 − s, y = 10/7 + 2s, z = 45/14 − s Wynik jest inny niż w odp. ale punkt Q należy do płaszczyzny H, więc odp. dobra. P.S Dopiero przy końcu mnie oświeciło, że przecież odpowiedź nie musi być taka sama jak w książce. Dziękuję za pomoc.

xyz123: poprawiam : ...skoro prosta L jest RÓWNOLEGŁA do płaszczyzny H... i w p4) wektor nv = ...

pigor: ..

Mila:

	15
w (7) z=		−s
	14

xyz123: Zgadza się Mila, dziękuję.

Mila: