Wielomian z parametrem. MissM: Dla jakich wartości parametru k wielomian w(x)= x³−12x+k ma pierwiastek dwukrotny? Wyznacz ten pierwiastek. Próbowałam w taki sposób: w(x) = x³−12x+k q(x) = (x+a)² = x²+2ax+a² p(x) = bx+c w(x) = p(x)*q(x) (x²+2ax+a²)(bx+c) = bx³ + cx²+2abx²+2acx+a²bx+a^c = bx³+(2ab+c)x²+(2ac+a²b)x+a^c

⎧	b=1
⎜	2ab+c=0
⎨	2ac+a2b=−12
⎩	a2c=k

Niestety z tego układu równań nic nie chce mi wyjść, gubię się z tymi współczynnikami, które są podniesione do potęgi. To chyba nie jest dobry sposób

ICSP: jeżeli ma pierwiastek dwukrotny to musi mieć łącznie 3 pierwiastki których suma wynosi 0( patrz wzory Viete'a dla wielomianu stopnia 3) Niech x₁ = x₂ = a, wtedy x₃ = −(x₁ + x₂) = −2a w(x) = (x−a)²(x+2a) = ... Porównując współczynniki przy x dostaniesz a. Porównując później wyrazy wolne znajdziesz k.

MissM: A czy nie ma jakiegoś innego sposobu? Nie miałam jeszcze wzorów Viete'a dla wielomianów stopnia trzeciego.

Tadeusz: z drugiego 2a=−c do trzeciego −c²+c²/4=−12 i t d −

ICSP: To może najwyższy czas je przyswoić? Ułatwiają bardzo dużo zadań z wielomianów. twój układ równań : b = 1. Wstawiamy do pozostałych równań : 2a + c = 0 ⇒ c = −2a 2ac + a² = −12 a²c = k Wstawiamy : 2a(−2a) + a² = −12 −2a³ = k −4a² + a² = − 12 −2a³ = k 3a² = 12 ⇒ a = ± 2 k = −2a³ k = ± 16 i odpowiednio x = ± 2

Bogdan: x₁ = x₂ = a, x₃ = b x³ − 12x + k = (x − a)²(x − b) = ... = x³ + (−2a − b)x² + (a² + 2ab)x − a²b −2a − b = 0 ⇒ b = −2a a² + 2ab = −12 ⇒ a² − 4a² = −12 ⇒ a² = 4 ⇒ a = −2 i b = 4 lub a = 2 i b = −4 −a²b = k ⇒ k = ...

MissM: ICSP: Nie mogę rozwiązywać zadań sposobami, których nie miałam w szkole, bo nauczycielka nie uwierzy, że rozwiązuję je sama. Dziękuję za pomoc przy układzie równań, teraz już rozumiem