kombinatoryka ROT: Na ile sposobów można n kul rozmieścić w n pudełkach tak, żeby dokładnie dwa pudełka zostały puste? Załóż, że n ≥ 3 oraz zarówno kule jak i pudełka są między sobą rozróżnialne.

ROT: odświeżam

marek: sprobuj rozbic n 2 przypadki 1. w jednym pudelku 3 kule w dwoch ani jednej w pozostalych po jednej 2.w dwoch pudelkach po dwie kule w dwoch ani jednej w pozostalych po jednej

marek: na 2 przypadki*

ROT: Próbowałem, ale nie mogę tego ruszyć Proszę o napisanie rozumowania, może wtedy coś ogarnę.

PW: (x₁, x₂,...,{x_k,x_k+1,x_k+2},x_k+3, ..., x_n−2) − taki ciąg jest modelem matematycznym rozmieszczenia n kul w n−2 pudełkach w ten sposób, że w każdym pudełku jest 1 kula, z wyjątkiem jednego pudełka, w którym są 3 kule. Przestawianie między sobą 3 kul zajmujących jedno pudełko nie ma znaczenia, kule te stanowią 3−elementowy zbiór, nie ciąg. Wobec tego liczba rozmieszczeń jest równa (n−3)! − możemy przemieszczać między sobą (n−3) elementy, z których jeden jest 3−elementowym zbiorem, a pozostałe − pojedynczymi kulami.

	n 3
Wybrać 3 kule możemy na		sposobów, wobec tego rozmieszczeń tego typu jest

	n 3
		·(n−3)!

Należy również uwzględnić, że (n−2) pudełka przeznaczone do zapełnienia można wybrać na

	n n−2		n 2
		=		sposobów, a więc sposobów opisanych przez marka pod nrem 1 jest

	n 2	n 3
			(n−3)!

A teraz serwer przestaje działać, więc muszę przerwać.

PW: Od razu poprawiam: w pierwszym wierszu numeracja kul do n, a nie do n−2. Oczywiście przestawień jest (n−2)!, a nie (n−3)! Mamy (n−3) pojedynczych kul i jeden zbiór 3−elementowy, zatem permutujemy (n−2) elementy. Tak pośpiech działa, że się diabeł cieszy. O 24:00 ma być wyłączony serwer, a ja nie umiem działać w pośpiechu.

ROT: Mógłbyś dokończyć na spokojnie?

PW: 2. przypadek marka

	n 2
Na		sposobów wybieramy tak jak poprzednio 2 pudełka, które mają być puste.

Wybieramy 4 kule, które mają być rozmieszczone po dwie w dwóch pudełkach − można to zrobić na

	1	n 4	4 2		n 4
				= 3
	2

	n 4		4 2
sposobów.		− bo wybieramy 4 kule spośród n;		− bo wybieramy 2 z nich do

pierwszego podzbioru (drugi "wybiera się automatycznie"); dzielimy przez 2, bo przy takim sposobie liczenia uwzględnilibyśmy kolejność podzbiorów, a tego nie chcemy − chcemy tylko podzielić 4 kule na dwa podzbiory na wszelkie sposoby. Modelem matematycznym rozmieszczenia w tym wypadku będzie ciąg złożony z (n−2) elementów, z których dwa są 2−elementowymi zbiorami, a pozostałe to (n−4) pojedyncze kule. Wobec tego rozmieszczenia kul w rozpatrywanym przypadku można dokonać na

	n 2		n 4
		·3		(n−2)!

sposobów. Odp. Wszystkich sposobów rozmieszczenia n kul w n pudełkach − takich, w których dokładnie 2 pudełka są puste − jest

n 2

n 3

n 4

n!

n 3

n 4

(n−2)!(

+ 3

) =

(

+ 3

).

2

Ciekawy jestem − masz jakąś odpowiedź?

ROT:

	n 2		n−2		n−2 2
Tak, n!		(		+		)
			6		4

PW: Wyniki są identyczne, trzeba trochę poprzekształcać.

Kacper: PW mogę się zapisać na korki z kombinatoryki?

ROT: OK, dzięki za pomoc

PW: Kacper, dziękuję za miłe słowa. Powiem w tajemnicy, że wiele rzeczy wymyśliłem stojąc przy tablicy. Tak było np. z rozmieszczeniami ludzi przy okrągłym stole. Sam dla siebie umiałem policzyć, ale wytłumaczyć to klasie − to było dopiero wyzwanie, wymuszające taką gadatliwość jaką widziałeś wyżej .

Kacper: Mam nadzieję, że kiedyś też będę umiał choćby mały procent tego co Ty Rzeczywiście człowiek najwięcej się uczy, jeśli ma nauczyć kogoś innego

Mila: 1) Dla n=3 mamy 3 mozliwości i koniec. 2) Dla n≥4 mamy tak jak napisałeś 17:32.

PW: Masz rację jak zwykle . Dla n=3 wzór z 17:32 nie da się zastosować, ten z 18:01 też zresztą nie. Złapali mnie, raz przeczytałem zadanie, a później w miarę pisania treść się przesuwa do góry! A na uczniów zrzędziłem: − Obliczyłeś? − Sprawdź, czy wynik jest sensowny.

Mila: PW, ja od dawna zastanawiałam się nad tym zadaniem . Musimy rozbic na dwa przypadki. Nie będę dołączać swojego rozwiązania. Losowałam 4 kule i rozpatrywałam też losowanie 2 kul z n a potem 2 z (n−2). Chciałam mieć jeden wzór pasujący do wszystkich przypadków. Cały czas myslałam, że źle i czekałam na Twoje rozwiązanie. Dopiero dzisiaj wpadłam, że przecież dla n=3 jesli dwie komórki puste, to nie ma co rozważać innej sytuacji. Zaćmienie umysłu. dla Ciebie.