granica niewłaściwa ? Lukas: Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice

	n2+1
limn→∞
	n

	1   n1(1+ )   n2
limn→∞		=∞
	n

O to chodzi ?

Lukas: up ?

Mila: W drugiej linijce w liczniku ma być wyłączone n².

Lukas: Ale to jest na pewno to twierdzenie ? Ja ten przykład mogę zrobić w pamięci po w liczniku mam większą potęgę niż w mianowniku.. Dziękuję.

bezendu: Mila spojrzysz do mojego tematu ?

Lukas: Zbadać, czy od pewnego miejsca są monotoniczne ciągi ?

	n
an=
	n2+1

Lukas:

Mila: a_n+1−a_n i badasz znak , wtedy ustalasz czy od pewnego n ciąg jest malejący albo rosnący

Lukas:

	n+1
an+1=
	n2+2n+2

n+1		n		(n+1)(n2+1)−n(n2+2n+2)
	−		=		=
n2+2n+2		n2+1		(n2+1)(n2+2n+1)

	n2−n−1
=		?
	(n2+1)(n2+2n+2)

Kejt: jak dla mnie to się w znakach walnąłeś..

Lukas:

n3+n2+n+1−(n3+2n2+2n
	=
(n2+1)(n2+2n+2)

	−n2−n+1
=
	(n2+1)(n2+2n+2)

Kejt: szczerze to nie pamiętam jak to się robiło.. ale skoro masz badać znak(wypowiedź Mili)... to przyrównaj do zera?

Maslanek: Zauważ, że mianownik jest większy od zera Wystarczy, więc zbadać nierówność, np. kiedy a_n+1−a_n>0, czyli inaczej −n²−n+1>0

Maslanek: Może to być nawet nierówność słaba (w końcu też będzie monotoniczny − niemalejący)

Lukas: ?

Mila: Mianownik jest dodatni dla n∊N₊ Wystarczy sprawdzić znak licznika Licznik : −n²−n+1 ciąg może być malejący, bo mianownik szybciej rośnie niż licznik, to badam kiedy −n²−n+1<0 Δ=1+4=5

	1−√5		−1+√5		−1−√5
n1=		=		>0 lub n2=		<0
	−2		2		2

	−1+√5
n>		≈06 i n∊N+
	2

dla n≥1 ciąg jest malejący, czyli dla n∊N₊

Lukas: A co jeśli licznik i mianownik byłby ujemne ewentaulnie mianownik ujemny licznik dodatni ?

Lukas: ?

Mila: Normalnie badasz znak wyrażenia, możesz napisać <0 , albo >0 i zobaczysz jaki jest wynik. Pisz następne przykłady z monotonicznością, to będziemy reagować w zależności od sytuacji.

Lukas:

	n!
an=
	10n

	(n+1)!
an+1=
	10n*10

	(n+1)!		n!
an+1−an=		−
	10n*10		10n

	(n+1)!−10n!		n!(n+1−10)		n!(n−9)
=		=		=		?
	10n*10		10n*10		10n*10

Lukas: I dalej co ?

Mila:

n!*(n−9)
	>0 ⇔n−9>0⇔n>9
10n+1

⇔dla n>9 ciąg jest rosnący, to znaczy począwszy od a₁₀ ciąg rosnący czyli np. a₁₀<a₁₁<a₁₂...

Lukas: znowu tylko licznik ?

Mila: Lukas, przecież 10ⁿ jest dodatnie, to nie wpływa na znak wyrażenia, tak samo n!. Jeżeli zmienia się n to tylko (n−9) może przyjmować wartości dodatnie i ujemne.

Lukas: To kiedy będę badał mianownik ?

Mila: Jeśli będziesz miał w mianowniku np. (2n−1)

Lukas: A jeśli w liczniku będzie 2n−3 a w mianowniku 2n−1 ? 1.Wiem, że jeśli mianownik dodatni to badamy licznik 2. Jeśli licznik i mianownik ujemny to również licznik ? 3. Jeśli mianownik ujemny a licznik dodatni to badamy ?

Mila: Badasz znak wyrażenia algebraicznego, wiadomo jednak, że n∊N₊ i stąd wnioskujesz, że pewne sumy są dodatnie i ułatwiasz sobie zadanie.

n−7
	>0 wiesz , że mianownik nie wpływa na znak całego wyrażenia to mamy⇔
8

n−7>0 i wystarczy Itp.

Lukas: Chyba się nie rozumiemy.

	3n−2
Mam już po przekształceniu np		co badam licznik czy mianownik ?
	n−1

Eta: Hej Lukas Rozwiązujesz tak jak każdą nierówność wymierną , ale dla n∊N+

3n−2
	>0 , n≠1
n−1

równoważna postać iloczynowa (n−1)(3n−2)>0 ⇒ ........ i n∊N+

Mila: Napisałam badasz znak całego wyrażenia. Cześć Eta, witam miło.

Lukas: (3n−2)(n−1)>0 to proste ale np Mila w przykładzie wyżej badała tylko licznik i nie wprowadzała do postaci iloczynowej ? Czemu tak ?

krokus: dla n∊N+ i n>1 mianownik n−1>0 i licznik 3n−2>0

Eta:

Lukas: Eh dziękuję.

krokus: