indukcja matematyczna-PWr bezendu: Indukcja nierówności Pokazać, że dla dowolnego n naturalnego takiego, że n≥5 zachodzi 2ⁿ>n² Równania już opanowałem, nierówności są dla mnie nadal problematyczne.

john2: Nie wiem, czy tak wolno, ale ja bym zrobił tak: 1) 32>25 2) 2^k>k² 3) Udowadniam 2^k+1 > (k+1)² 2*2^k > (k+1)²

	(k+1)2
2k >
	2

	(k+1)2
Jeśli		będzie mniejsze od k2, to będzie też mniejsze od 2k
	2

	(k+1)2
Rozwiązuję nierówność k2 <		i sprawdzam, czy jest prawdziwa dla k≥5
	2

john2: poprawiam

	(k+1)2
k2 >
	2

bezendu: Dziękuję będę analizował

PW: 2^k+1 = 2·2^k > (na mocy założenia indukcyjnego) 2·k² > (k+1)², Ostatnia nierówność jest oczywista, gdyż jest równoważna nierówności k² − 2k − 1 > 0 k(k−2) > 1 prawdziwej dla wszystkich k>2. Żeby dowód nie budził wątpliwości, konieczne jest wyraźne wskazanie miejsca, w którym korzystamy z założenia indukcyjnego i "przejście z nierównościami od lewej do prawej". Nie wolno korzystać z tezy.

bezendu: PW mam prośbę. Rozpisz proszę mi to krok po kroku. ?

Mila: Np. tak : 3) z zał. ind. 2^k>k² /*2 2*2^k>2k²⇔ 2^k+1>2k²=k²+k² dla k≥5 mamy k²≥ 5k stąd 2^k+1>k²+k²>k²+2k+3k>k²+2k+1=(k+1)²

bezendu: Czemu to jest przemnażane razy 2 ?

PW: Dowód indukcyjny jest − o 23:05. Nic więcej nie trzeba (pokazane jest, że lewa strona większa od prawej). Krok pierwszy − sprawdzenie dla n=5 wykonał john2, zapisał również założenie indukcyjne dla n=k i postawił tezę dla n=k+1 − wszystko już jest, tylko skleić razem i dopisać na końcu formułę o prawdziwości nierówności dla wszystkich n≥5 na mocy zasady indukcji. Zauważ, że john2 doszedł do tej samej nierówności. Ja trochę skorygowałem, bo korzystanie z obu stron nierówności jednocześnie, gdy mamy ją udowodnić, może być traktowane jak błąd logiczny.

PW: A Mila zrobiła to ładniej . Przemnożyła przez 2, bo w tezie indukcyjnej po lewej stronie jest 2^k+1 =2·2^k.

Mila: Bo można i chcę skorzystać z założenia. Mam wykazać, że 2^k+1>(k+1)². 2 *2^k to właśnie 2^k+1 już mam lewą stronę tezy a myślę, że z prawą sobie jakoś poradzę i tak się stało. Czy coś Ci się nie zgadza? Na pewno można inaczej.

Mila: O! Dziękuję Pw.

bezendu: Nie wiem czy się nie zgadza. Nie miałem wcześniej indukcji, robiłem tylko proste równania do udowodnienia.

Mila: Chodzi mi ciąg nierówności.

bezendu: Dziękuję, spróbuje jakoś zrozumieć bo innej opcji nie mam..

Mila: Nie przejmuj się, nabierzesz wprawy. Na studiach szybko się dojrzewa. Za rok będziesz umiał rozwiązywać problemy o których juz zapomniałam, bo nie miałam potrzeby ich stosować. Wtedy będę się od Ciebie uczyc.

bezendu: Dziękuję Mila za dobre słowo , na razie zrobiłem tylko granice..

Mila: Zobacz co masz w programie.

bezendu: Nie bardzo mam program, każdy wykładowca inaczej prowadzi. Jedyne co mam to zadania z listy PWr

Mila: Trzeba się uczyć, nie imprezować ( na to przyjdzie czas) , nie opuszczać wykladów, pilnie notować, a w domu analizować.

bezendu: Wiem, że studiowanie to nie tylko imprezowania a nauka, ale nie mogę znaleźć jakiegoś większego zbioru zadań ?

jakubs: O właśnie mądre słowa, ja się w środę zakwaterowałem w akademiku i codziennie impreza Muszę się poprawić i wziąć za naukę

Godzio : Zawsze można imprezować i się uczyć Polecam.

Maslanek: Albo uczyć się na imprezach!