kombinatoryka zadanie: Na ile wszystkich roznych sposobow mozna rozmiescic 9 ponumerowanych kul w czterech ponumerowanych komorkach tak, aby: (Jest to opisane funkcja f: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}→{1, 2, 3, 4}.) a) w pierwszej komorce byla co najmniej jedna kula i w drugiej komorce byla co najmniej jedna kula? Czyli moge policzyc zdarzenie przeciwne i odjac je od wszysykich mozliwych ustawien. Wszystkich roznych sposobow jest 4⁹. Zdarzenie przeciwne: W pierwszej komorce nie ma zadnej kuli i w drugiej komorce nie ma zadnej kuli. Ale zrobilem jeszcze tak: Niech p, q oznaczaja nastepujace zdania: p− w pierwszej komorce byla co najmniej jedna kula q− w drugiej komorce byla co najmniej jedna kula p⋀q −w pierwszej komorce byla co najmniej jedna kula i w drugiej komorce byla co najmniej jedna kula Zdarzenie przeciwne to: ¬(p⋀q)⇔¬p⋁¬q ¬p− nieprawda, ze w pierwszej komorce byla co najmniej jedna kula czyli w pierwszej komorce nie ma zadnej kuli ¬q− nieprawda, ze w drugiej komorce byla co najmniej jedna kula czyli w drugiej komorce nie ma zadnej kuli Czyli zdarzenie przeciwne wychodzi tak: ¬p⋁¬q − nieprawda, ze w pierwszej komorce byla co najmniej jedna kula czyli w pierwszej komorce nie ma zadnej kuli lub nieprawda, ze w drugiej komorce byla co najmniej jedna kula czyli w drugiej komorce nie ma zadnej kuli Licze zdarzenie przeciwne: w pierwszej komorce nie ma zadnej kuli: 3⁹ w drugiej komorce nie ma zadnej kuli: tez 3⁹ ostatecznie: 3⁹+3⁹=2*3⁹. Koncowa odpowiedz: 4⁹−2*3⁹. Ale w odpowiedzi jest: 4⁹−2*3⁹+2⁹. Skad sie bierze 2⁹? Czy pierwsze zdarzenie przeciwne, ktore napisalem jest dobre?

MYSZ: Ale odp. to 4⁹ − 2*3⁹ − 2⁹

MYSZ: 2⁹ − w pierwszej komorce nie ma kuli i w drugiej komorce nie ma kuli

PW: Odpowiedź 4⁹ − 2·3⁹ + 2⁹ jest poprawna. W liczbie 3⁹ policzone są również funkcje, które przyjmują tylko dwie wartości i te, które przyjmują tylko jedną wartość. Skoro liczbę takich funkcji odejmujemy dwukrotnie, to trzeba raz za karę dodać 2⁹ − liczbę funkcji przyjmujących tylko dwie wartości lub tylko jedną wartość.

zadanie: Nie, odpowiedzia jest 4⁹−2*3⁹+2⁹.

Mila: Czy wyjaśnienie PW jest wystarczające, czy myśleć dalej nad innym?

zadanie: Mam jeszcze takie rozumowanie: na zdarzeniach B oraz C. B' − w pierwszej komorce nie ma zadnej kuli; |B'|=3⁹ np. {(2,3,4,3,3,4,2,3,2), (2,2,2,2,2,2,2,2,2), ...} C' − w drugiej komorce nie ma zadnej kuli; |C'|=3⁹ np. {(1,1,1,1,1,1,1,1,1), (1,3,4,3,3,3,1,4,4), ...} Zdarzenie przeciwne: (B∩C)'=B'∪C' |B'∪C'|=|B'|+|C'|−|B'∩C'| B'∩C' − w pierwszej komorce nie ma zadnej kuli i w drugiej komorce nie ma zadnej kuli. np. {(3,3,3,3,3,3,3,3,3), (4,4,4,4,4,4,4,4,4), (3,3,3,4,4,3,4,3,4), ...} W czesci wspolnej mamy do wyboru dwie komorki {3, 4} Czyli |B'∩C'|=2⁹.

Mila: Stąd : 4⁹−(2*3⁹−2⁹)=4⁹−2*3⁹+2⁹

zadanie: Mam takie zadanie: Na ile wszystkich roznych sposobow mozna rozmiescic 7 ponumerowanych kul w pieciu ponumerowanych komorkach tak, aby: a) dokladnie trzy komorki byly zajete? Dokladnie trzy komorki byly zajete czyli inaczej mozna powiedziec dokladnie 2 komorki puste prawda?

	5 3
Z pieciu komorek wybieram trzy:		.

Nie jest powiedziane ile kul ma byc w tych wybranych komorkach wiec moze byc dowolnie, ale przynajmniej jedna. Wiec nie moge precyzyjnie wybrac do nich kul. Ale od wszystkich mozliwych ustawien moge odjac zle. Zalozmy, ze mamy takie wybrane komorki {a, b, c}. Wszystkich ustawien po wyborze juz tych trzech komorek jest: 3⁷. Ale wsrod tych mozliwosci sa rowniez takie, ktore nie pasuja np.: (a,a,a,a,a,a,a), (b,b,b,b,b,b,b), (c,c,c,c,c,c,c) (sa tylko te trzy) tutaj jest dokladnie jedna komorka zajeta (a,a,a,a,b,b,b), (a,c,c,c,a,a,c), (b,c,b,b,c,c,b,), itd. tutaj sa dokladnie dwie komorki zajete Ustawien, w ktorych dokladnie dwie komorki {a, b} maja byc zajete jest: 2⁷−2, bo dwie nie pasuja ((a,a,a,a,a,a,a), (b,b,b,b,b,b,b)). Podobnie dla ustawien z komorkami {a, c} oraz {b, c}. Wszystkich takich ustawien, gdzie dokladnie dwie komorki sa zajete jest: 3*(2⁷−2). 3*(2⁷−2)+3=3*2⁷−6+3=3*2⁷−3 Ostatecznie:

5 3		5 3
	*(37−(3*27−3))=		*(37−3*27+3) i taka jest odpowiedz.

Czy rozumowanie jest poprawne?

PW: Prosty wywód byłby taki:

	5 3
− wybieramy trzy komórki spośród 5 na		sposobów

− liczymy ile jest funkcji przekształcających {1,2,...,7} na zbiór 3−elementowy; jak wiadomo (?) funkcji takich jest 3⁷ − 3·2⁷ +3 (od liczby wszystkich funkcji odejmujemy liczbę funkcji przyjmujących wartości dwu− lub jednoelementowe; dodanie 3 koryguje fakt, że liczbę funkcji "jednowartościowych" odjęliśmy sześciokrotnie zamiast trzykrotnie). Mam wrażenie, że im więcej będziesz tłumaczył, tym wywód będzie mniej jasny. Jeżeli napiszesz od razu wzór na liczbę funkcji "na" i krótko uargumentujesz, to np. sprawdzający kolokwium będzie wiedział, że obaj rozumiecie o co idzie.

Mila: W porządku. 3⁷ − rozkład 7 kul do 3 komórek

3 1
	*1=3− 3 sytuacje gdy jedna komórka jest zajęta ( pierwsza albo druga albo trzecia)− dwie

puste

3 2
	*(27−2) − dokładnie dwie komórki są zajęte− jedna pusta

3⁷−3−3*(2⁷−2)− liczba rozmieszczeń 7 kul w trzech komórkach i żadna nie jest pusta Stąd

5 3
	*(37−3*27+3)

zadanie: dziekuje