proszę o pomoc, różnica kolejnych Wyrazów tworzy ciąg geo klinik : Ciąg określony jest rekurencyjnie b1=1/2 bn +1= bn + 1/2ⁿ Udowodnij ze bn = 3/2 − 1/2ⁿ−1

===: ... to może chociaż zapisz porządnie to zadanie

Domel: czy to bn + 1 oznacza: 1. b_n + 1 czy 2. b_n+1

J: z pewnością : b_n+1 ... inaczej nie miałoby to sensu ..., druga sprawa,co oznacza:1/2ⁿ ...)

===: ... to jest zapewne (1/2)ⁿ⁻¹

===: ale t nie zgaduj−zgadula −

J:

	3		1
... zgadza się ... policzyłem i rzeczywiście: bn =		− (		)n−1
	2		2

5-latek: UWAGA Przez prawie godzine czasu zadnego zainteresowania przez autora postu . Wniosek : Skonczyl sie pewnie sprawdzian

klinik : Byłem zajęty, 2

b.: > druga sprawa,co oznacza: 1/2ⁿ

	1
to chyba wiadomo co oznacza?		, nic innego
	2n

Kokosz: No i jak z rozwiązaniem

Kokosz:

	1		1
b. myślę, że to bez znaczenia jak odczytamy 1/2n bo (		)n =
	2		2n

No próbuję dojść do dowodu. Nie wiem czy dobrze kombinuję, ale mamy ciąg rekurencyjny o wyrazach:

	1
b1 =
	2

	1
bn+1 = bn + (		)n
	2

W takim razie:

	1
b1 =
	2

	1		1
b2 =		+ (		)2
	2		2

	1		1		1
b3 =		+ (		)2 + (		)3
	2		2		2

....

	1		1		1		1
bn =		+ (		)2 + (		)3 + ... + (		)n
	2		2		2		2

	1		1
No i mam tu sumę ciągu geometrycznego nieskończonego gdzie a1 =		i q =
	2		2

Więc:

	a1		1   2
bn =		=		= ... = 1 BYK
	1 − q		1   1 −   2

o co chodzi Jest jeszcze info o ciągu geometrycznym, którego elementy a₁, a₂, ..., a_n są różnicą wartości b₂ − b₁, b₃ − b₂, ..., b_n+1 − b_n czyli

	1		1		1		1
a1 = b2 − b1 =		+ (		)2 −		= (		)2
	2		2		2		2

	1		1		1		1		1		1
a2 = b3 − b2 =		+ (		)2 + (		)3 −		− (		)2 = (		)3
	2		2		2		2		2		2

...

	1
an = ...... = (		)n+1
	2

no i co mi to daje

J: @Kokosz ... ciąg jest okreslony tak:

	1
b1 =
	2

	1
bn+1 = bn + (		)n−1 ..... i teraz sie pobaw ...
	2

	3		1
wynik: bn =		− (		)n−1 ... cnw.
	2		2

Kokosz:

	1
b1 =
	2

	1
bn+1 = bn + (		)n−1
	2

W takim razie:

	1
b1 =
	2

	1		1
b2 =		+
	2		2

	1		1		1
b3 =		+		+ (		)2
	2		2		2

....

	1		1		1		1
bn =		+		+ (		)2 + ... + (		)n−1
	2		2		2		2

Od 2−go wyrazu mam znowu sumę ciągu geometrycznego nieskończonego

	1		1
gdzie c1 =		i q =
	2		2

Więc:

	1		c1		1		1     2		1		3
bn =		+		=		+		=...=		+ 1 =
	2		1−q		2		1   1−   2		2		2

? BYK Chyba, że zastosować wzór ogólny na sumę ciągu geometrycznego:

	1		1 − qn−1		1		1		1   1−( )n−1   2
bn =		+ c1 *		=		+		*
	2		1 − q		2		2		1   1−   2

	1		1		1   1 − ( )n−1   2
bn =		+		*		=
	2		2		1     2

	1		1		3		1
bn =		+ 1 − (		)n−1 =		− (		)n−1 − no i jest dowód
	2		2		2		2

czy to tak ma być tylko po co była ta informacja, że różnica kolejnych wyrazów ciągu rekurencyjnygo tworzy ciąg geometryczny − dla zmyły

J: ...