g.: granice ciągów - kryterium d'Alemberta. proszę o sprawdzenie. 1. an = n! ------- nⁿ⁺¹ an+1 = (n+1)! ------------- (n+1)ⁿ⁺¹⁺¹ (n+1)! nⁿ⁺¹ nⁿ n ---------------- * -------------- = --------------- = ----------- = 1/e<0 (n+1)ⁿ⁺¹⁺¹ n! (n+1)ⁿ (n+1)ⁿ szereg jest zbieżny 2.an = n+2 ------- 3ⁿ an+1= n+2 + 1 ---------- 3ⁿ+¹ n+2 + 1 3ⁿ n+2 1 1* 1/n+2 ----------- * ----------- = ----------* -------- = -------------- = 1/3 < 0 3ⁿ+¹ n+2 n+2 * n+2 3 szereg jest zbieżny 3. an = n! 3ⁿ / (2n)! an+1 = (n+1)! 3ⁿ+¹ / 2(n+1)! (n+1)! 3ⁿ+¹ (2n)! (n+1) + 3 ------------------- * -------------- = ---------------- = 2(n+1)! n! 3ⁿ 2(n+1)(2n+2 3 3 ---------------- = ----------- = 0 2(2n+2) 4n + 4 szereg jest zbieżny 4. an= nⁿ+² / (n+1)! an+1 = (n+1)ⁿ⁺¹⁺² / (n+1+1)! (n+1)ⁿ⁺¹⁺² (n+1)! ------------------ * ------------ (n+1+1)! nⁿ⁺² = ? tutaj niestety nie wiem co dalej....

Marcin: skracasz silnie w drugim ułamku robisz w mianowniku nⁿ⁺³ czyli u góry będzie n

g.: piszesz to do 4. przykładu

Marcin: tak 3pierwsze raczej dobrze

g.: ja to widzę jak na razie tak: (n+1)ⁿ⁺1⁺² (n+1)! (n+1)ⁿ⁺1⁺² 1 ------------------ * --------- = ---------------------- * ------------ = (n+2)(n+1)! nⁿ⁺2 (n+2) nⁿ⁺2 nie rozumiem co mam zrobić... nigdzie w mianowniku nie widzę nⁿ⁺³...

g.: te 1 mają być w potędze oczywiście.

Marcin: mnożysz drugi mianownik przez n/n

g.: możesz rozpisać wybacz, ale mi trzeba tłumaczyć łopatologicznie...

Marcin: sorry drugi ułamek mnożysz licznik przez n i mianownik przez n (czyli razy 1) i wyjdzie n/nⁿ⁺³

g.: i mogę skrócić te potęgi i zostanie mi n+1 / n+2 ?

Marcin: NIE !

Marcin: wychodzi n/(n+2) * [(n+1)/n]ⁿ⁺³

g.: to co mam zrobić... i nie denerwuj sie

g.: i teraz mam doprowadzić do tego e... n/(n+2) * [(1 + 1/n]ⁿ⁺³ i dalej znowu nie wiem

Marcin: n/(n+2) →1 druga część to e czyli całość wychodzi e czyli rozbieżny

g,: (1+1/n)ⁿ⁺³ * (1+1/n)^-3 = (1+1/n)ⁿ = e moze tak byc?

Marcin: super

g.: uffff. to teraz z czystym sumieniem mogę iść spać. jeszcze raz dziękuję. dobranoc

b.: no jeszcze raz się wtrącę: nie pisz równości tam, gdzie jej nie ma np. (1+1/n)ⁿ ≠ e ale (1+1/n)ⁿ → e