... kielbasa: Dany jest wielomian W (x) = 2x³ + x + 1 Uzasadnij, że wielomian W (x ) nie ma dodatnich pierwiastków. suma współczynnikow jest dodatnia wiec W(X)>0 dla x>0 − czemu z tego wnioskujemy ze nie ma dodatnich pierwiastkow a nie ujemnych?

ICSP: w(x) jest funkcją rosnącą dla dowolnego x ∊R, oraz w(0) = 1 > 0, skąd dla x > 0 mamy w(x) > 1 Dowód monotoniczności zostawiam tobie.

PW: Nawet monotoniczność nie jest potrzebna. Przecież sam piszesz: dla x >0 jest w(x) > 0, co jest oczywiste, bo mamy trzy dodatnie składniki: 2x³, x i 1. Jeżeli wartość wielomianu jest dodatnia, to nie jest zerem (żaden z dodatnich x−ów nie jest pierwiastkiem). Tak łatwe, że aż trudne

kielbasa: a mozna to zrobić tak:? 2x³+x+1=0 x(2x²+1)=−1 2x²+1 >0 wiec x < 0

PW: Można, ale komplikujesz oczywistość. Klarowniejsze jest: Dla x > 0 2x³ >0 x > 0 1 > 0, a więc − po dodaniu tych trzech nierówności stronami. w(x) > 0.

kielbasa: c) t w i e r d z e n i e każdy niezerowy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego. korzystając z podanego twierdzenia uzasadnij, ze wielomian W(x) ma co najmniej jeden pierwiastek

pigor: ... , a może jak uzasadnić, to wystarczy graficznie np. tak : w(x)=0 ⇔ 2x³+x+1=0 ⇔ 2x³=−x−1; robisz wykres L−ewej i P−rawej strony równania, które przecinają się tylko w jednym punkcie o odciętej x<0 . ...

PW: c) Właściwie nie ma co uzasadniać: Jeżeli podane twierdzenie jest prawdziwe, to w(x) = (x−x₀)(x²+bx+c), przy czym trójmian jest nierozkładalny, albo w(x) = (x−x₁)(x−x₂)(x−x₃), przy czym pierwiastki x₁, x₂, x₃ są liczbami niekoniecznie różnymi. Wniosek: co najmniej jeden pierwiastek wielomianu w istnieje (dokładnie: tylko jeden jednokrotny lub jeden i jeden inny podwójny lub jeden potrójny lub trzy różne).

PW: Uwaga: rozważania dotyczyły wielomianu trzeciego stopnia − tego z pierwszego pytania, a więc jeszcze trzeba dopisać współczynnik 2 przed rozkładami na czynniki.