Pochodna z modułem john2: problem z pochodną funkcji f(x) = x * |x|

	⎧	x2 dla x ≥ 0
f(x) =	⎩	−x2 dla x < 0

Badam istnienie pochodnej w x₀ = 0

	f(xo + Δx) − f(x0)		f(0 + Δx) − f(0)
limΔx−>0 =		= limΔx−>0		=
	Δx		Δx

	(0 + Δx)*|0 + Δx| − 0*|0|
= limΔx−>0		=
	Δx

	Δx*|Δx|
= limΔx−>0		= limΔx−>0 |Δx| = |0| = 0
	Δx

Istnieje pochodna w x₀ = 0 i wynosi ona 0, więc ostatecznie:

	⎧	2x dla x > 0
f'(x) =	⎨	0 dla x = 0
	⎩	−2x dla x < 0

Niby ok, ale widzę pewien konflikt, gdy robię to tak:

	1
f'(x) = (x*|x|)' = (x)'*|x| + x*(|x|)' = |x| + x*(√x2)' = |x| + x *		* (x2)' =
	2√x2

	x		x2		x2
|x| +		* 2x = |x| +		= |x| +
	2√x2		√x2		|x|

	x2
Problem polega na tym, że do dziedziny funkcji f'(x) = |x| +
	|x|

nie należy punkt zero. Z tego chyba wynika, że funkcja f(x) nie może mieć pochodnej w x₀ = 0, więc w końcu jak to jest?

PW: Wymyśliłeś problem, którego nie ma. Policzyłeś wcześniej z definicji, że pochodna w zerze istnieje i jest równa 0. Drugi sposób liczenia pochodnej (mechaniczny, z zastosowaniem gotowych wzorów) formalnie nie

	1
może być zastosowany do x=0 (właśnie dlatego, że nie ma sensu		).
	2√x2

Co ciekawe, gdyby to zlekceważyć i skrócić

	x2
f '(x) = |x| +		= |x| + |x| = 2|x|,
	|x|

to wynik jest poprawny również dla x=0.

john2: Aha. Dzięki wielkie.