Liczba Blue: Przepraszam, że Was tak męczę tymi zadaniami na wykazywanie, ale jakoś nie potrafię się za nie zabrać Uzasadnij, że liczba 2²⁰¹⁵ ma w zapisie dziesiętnym co najmniej 605 cyfr.

Kacper: Jakie liczby umiemy łatwo szacować ile mają cyfr w zapisie dziesiętnym?

Kacper: wskazówka 10³ ma 4 cyfry

Blue: Czyli muszę to jakoś przerobić, żeby było 10 w podstawie?

PW: Mało finezyjny sposób to obliczyć logarytmy log2²⁰¹⁵ = 2015log2 ≈ 2015·0,3010 > 606 log10⁶⁰⁴ = (ta liczba ma 605 cyfr) = 604 Logarytm o podstawie 10 jest funkcją rosnącą, zatem z nierówności log2²⁰¹⁵ > log10⁶⁰⁴ wynika 2²⁰¹⁵ > 10⁶⁰⁴, co oznacza że liczba 2²⁰¹⁵ ma co najmnie 605 cyfr.

Blue: a skąd wezmę to, że log2 =0,3010?

Kacper: Lepiej bez logarytmów 2²⁰¹⁵=(2¹⁰)²⁰⁰*2¹⁵>(10³)²⁰⁰*10⁴=10⁶⁰⁴ A wiadomo, że liczba 10⁶⁰⁴ ma 605 cyfr

PW: Wartości logarytmów dziesiętnych są w tablicach i nie jest to informacja tajna. Można dla sprawdzenia posłużyć się kalkulatorem obliczając np. 10^0,3010, żeby zobaczyć "prawie dwa". W zadaniu nie ma zwyczajowego zastrzeżenia "nie posługując się kalkulatorem" − dali tak duże liczby, żeby to było niemożliwe.

Kacper: PW Jeśli to zadanie maturalne, to na pewno tego tym sposobem nie zrobi, bo kalkulator podstawowy nie posiada logarytmów

PW: Sposób Kacpra jest taki jakie kochają matematycy, ale dobrze zrozumieć i ten mało finezyjny

Kacper: PW za to twój z logarytmami jest łatwiejszy do stosowania (człowiek się nie męczy z szacowaniem)

Blue: Kacper, dzięki, ale sama bym na to nie wpadała nigdy