Udowodnij, że.... Blue: UDOWONIJ, że liczby naturalnej parzystej niepodzielnej przez 4, nie można zapisać jako różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych. Normalnie łapię się za głowę, jak widzę takie zadania... Mógłby ktoś do wytłumaczyć i powiedzieć jak to udowodnić Na razie wpadłam tylko na takie coś: 4n+2 − liczba naturalna parzysta niepodzielna przez 4

ICSP: mamy dowolną liczbę naturalną w postaci 4n − 2 dla n ∊ C ( przyjmuje N = {1 , ...} ) oraz dwie liczby całkowite a,b. Rozważmy równanie diofantyczne w postaci : 4n − 2 = a² − b² Rozważ 4 przypadki : 1^o a,b, parzyste 2^o a nieparzyste oraz b parzyste 3^o a parzyste oraz b nieparzyste 4^o a,b nieparzyste Każdy z tych przypadków będzie prowadził do sprzeczności, skąd otrzymasz wniosek, że 4n + 2 nie może być zapisana w postaci a² − b².

Mila: p=4n+2− liczba naturalna parzysta, nie jest podzielna przez 4 a, b− dwie liczby naturalne 1) a i b sa liczbami parzystymi: a=2k, b=2m, a>b 4n+2=(2k)²−(2m)²⇔ 4n+2=4*(k²−m²) lewa nie jest podzielna przez 4 a prawa jest, mamy sprzeczność, zatem nie można przedstawić liczby p jako różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych pazrystych 2) a i b są liczbami nieparzystymi rozważaj 3) jedna z liczb jest parzysta a druga nieparzysta pracuj samodzielnie.

Saizou : proponuję dowód nie wprost, czyli założyć że można zapisać liczbę parzystą niepodzielną przez 4 jako różnicę kwadratów dwóch liczb naturalnych, zatem liczba parzysta niepodzielna przez 4 jest w postaci 4n+2 dla n∊N załóżmy, że a,b∊N i a>b wówczas 4n+2=a²−b² 2(2n+1)=(a−b)(a+b) 2=a−b ∧ 2n+1=a+b lub 2=a+b ∧ 2n+1=a−b 2n+3=2a 2n+3=2a

	3		3
a=n+		∉N a=n+		∉N
	2		2

zatem Teza jest prawdziwa

Saizou : to chyba żem sobie za bardzo uprościł, trzeba zacząć myśleć po wakacjach xd

Blue: Saizou to , co napisałeś jest na pewno dobrze?

Saizou : zdecydowanie nie

Eta:

Blue: Mila, a jak mam te liczby nieparzyste, to wyjdzie coś takiego: 4n+2= 4(k²+m²+k+m) + 2 .... czyli to nie będzie prawdą czasem....?

Blue:

Mila: 2) a=2k+1 b=2m+1 L=4n+2 P=(2k+1)²−(2m+1)²=4k²+4k+1−4m²−4m−1=4k²+4k−4m²−4m=4(k²+k−m²−m) liczba podzielna przez 4 a lewa strona nie jest podzielna przez 4.

Blue: a sorki, ja dodawałam xd Muszę już iść spać, bo wyłącza mi się myślenie...

Blue: Czy może to być tak rozwiązane: http://i58.tinypic.com/2lctjdi.jpg http://i62.tinypic.com/2qjm2yf.jpg ?

Blue: PS działają Wam te linki Bo mi coś muli...

Blue: Mila, pomożesz?

Mila: Dobrze.

Blue: Dziękuję