a kamczatka: x³ − 2x + 8 = 0 czy to należy z pierwiastków wymiernych wyliczyć czy jest inny sposób ?

Patryk: https://matematykaszkolna.pl/forum/258142.html

kamczatka: wiem ale nikt nie odpisał, tam było może za dużo już spamu to już nikt nie patrzy

PW: Wymiernych nie ma. f(−3) < 0 i f(−2) >0, zatem (tw.Darboux) pierwiastek jest w przedziale (−3,−2). Można szukać jego przybliżeń w ten sposób lub stosując bardziej zaawansowane metody analizy. Są wzory Cardano na wyliczenie tego pierwiastka, ale przyznam się bez bicia, że ich nigdy nie przyswoiłem.

ICSP: x³ − 2x + 8 = 0 niech x = u + v mamy wtedy : u³ + v³ = −8

	8
u3 * v3 =
	27

zauważmy, ze są to wzory Viete'a dla trójmianu kwadratowego o pierwiastkach u³ i v³, dostajemy równanie kwadratowe w postaci :

	8
z2 +8z +		= 0
	27

	32		1696		16 * 318
Δ = 64 −		=		=
	27		27		81

	4√318
√Δ =
	9

	4√318   −8 ±   9		−36 ± 2√318
z =		=
	2		9

	3√−36 + 2√318		3√−36 − 2√318
x = 3√z1 + 3√z2 =		+
	3√9		3√9

PW: Już wiem dlaczego nigdy tego nie nauczyłem się, nawet ten prosty przypadek jest paskudny. Zacząłem czytać Twoje rozwiązanie i ... nic nie rozumiem, nie wszystko zdradziłeś. Muszę po swojemu. Wiadomo, że jedno rozwiązanie x tego równania istnieje i jest ujemne. Przedstawmy więc x jako sumę jakichkolwiek dwóch ujemnych składników, x = u+v. Wówczas badane równanie przyjmie postać (u+v)³ − 2(u+v) + 8 = 0 u³+v³+3u^v+3uv² − 2(u+v) + 8 = 0 (1) u³ + v³ + 3uv(u+v) − 2(u+v) + 8 = 0. Z chęci uproszczenia równania (1) załóżmy dodatkowo, że u i v spełniają zależność

	2
(2) uv =		.
	3

Powstaje pytanie − czy można narzucić taki dodatkowy warunek na dwa składniki u i v, których suma jest pierwiastkiem wielomianu? Pomyślmy od nowa − czy można ujemną liczbę x₀ przedstawić

	2
jako sumę dwóch ujemnych składników, których iloczyn jest równy		? Słowo "ujemne" może
	3

być równie dobrze zastąpione słowem "dodatnie", a rozwiązaniem jest znana konstrukcja geometryczna: w trójkącie prostokątnym o wysokości h = √2/3 opuszczonej na przeciwprostokątną o długości |x₀| wysokość dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki u i v, takie że uv = h² = 2/3. Można zatem postawić (2) do (1), co da: (3) u³ + v³ +8 = 0.

	2
(2) przekształcone do postaci u3v3 = (		)3 wzięte razem z (3) pozwalają przeprowadzić
	3

rozumowanie "a to są rozwiązania równania kwadratowego". Mogę spać spokojnie. Może wreszcie zapamiętam jak działa ten najprostszy przypadek, dziękuję

ICSP: x³ + Ax + B = 0 zróbmy podstawienie x = u + v (u+v)³ + A(u + v) + B = 0 u³ + 3u²v + 3uv² + v³ + A(u + v) + B = 0 u³ + v³ + B + (u + v)(3uv + A) = 0 skąd u³ + v³ = −B

	−A
uv =		// 3
	3

u³ + v³ = −B

	−A3
u3 * v3 =
	27

PW: Cytuję: u3 + v3 + B + (u + v)(3uv + A) = 0 skąd u3 + v3 = −B

	−A
uv =		.
	3

Takiego wynikania nie widać, używając słowa "skąd" sugerujesz, że z równania (...) = 0 wynikają dwie dalsze równości, a to nie jest oczywiste. My po prostu szukamy rozwiązania, które spełnia nasze oczekiwania − żeby się nie napracować. Dlatego tak (sobie) tłumaczyłem, czy jest możliwe takie rozwiązanie.