Rozwiąż nierówność Mati: Rozwiąż nierówność ||x+1|−2|<4. Oblicz sumę wszystkich liczb całkowitych należących do zbioru rozwiązań tej nierówności. ||x+1|−2|<4 <=> |x+1|<6 i |x+1|>−2 1. |x+1| < 6 <=> x+1<6 i x+1>−6 x<5 x>−7 x ∊ (−7,5) 2. |x+1|>−2 <=> x+1>−2 lub x+1<2 x>−3 x<1 nie wiem jak ten przedział tu będzie wyglądać... proszę o pomoc w dokończeniu zadania...

Kacper:

Mati: x ∊ (−3,1) dziękuję ale nie jestem pewny co mam teraz dalej zrobić...połączyć te dwa rozwiązania w jaki sposób?

PW: Mati, robisz podstawowy (niestety bardzo popularny) błąd. To nie jest prawda, że (cytuję) 2. |x+1|>−2 <=> x+1>−2 lub x+1<2. Jest oczywiste, że zdanie |u| > −2 jest prawdziwe dla każdej u − nie trzeba tu nic rozwiązywać, zastosować definicję wartości bezwzględnej (jest nieujemna).

Mati: ale co tutaj jest błędem bo nie rozumiem?

Kacper: O nie czytałem |x|≥0 zawsze, czyli |x|>−2

PW: Przeczytaj jeszcze raz. Jest idiotyczne zastanawianie się, dla jakich x |x+1| > −2, bo taka nierówność jest prawdziwa dla wszystkich x. A co wyliczyłeś swoją (błędną) metodą?

Mati: No tak, racja czyli ogólnie jak to powinienem zapisać?

Mati: |x+1|>−2 <=> x>−3?

Mati: czy w ogóle tego nie rozpatrywać?

PW: Zaproponuję Ci sposób rozwiązania inny, prosty i pozbawiiony takich niebezpieczeństw. W zadaniu pytają o liczby całkowite x spełniające nierówność. Skoro całkowite, to lewa strona nierówności jest liczbą naturalną lub zerem. Ile jest takich liczb mniejszych od 4? Ramtem cztery: 0, 1, 2 i 3. Rozwiązujemy w zbiorze liczb całkowitych równości: ||x+1|−2| = 0 lub ||x+1|−2| = 1 lub ||x+1|−2|=2 lub ||x+1|−2| = 3. Rozwiązania tych równości są zbiorem szukanych liczb, których suma jest odpowiedzią.