f kamczatka: Wyznacz asymptoty ukośne

	1
lim x −− > ∞ y = 2x + arctg		x
	2

w odpowiedziach mam,że są asymptoty dla −∞ i +∞ i jak to możliwe że dla +∞ mam taką asymptotę ukośną:

	1
y = 2x −		π
	2

bo mi wychodzi:

	1
lim x −− > ∞ 2x + arctg		x
	2

Podstawiam i wychodzi:

	1		π
∞ +		*		= ∞
	2		2

co robię źle ?

PW: Funkcja arctg jest ograniczona. Liczymy granicę {f(x)}{x} = 2. Widać zatem, że współczynnik kierunkowy asymptoty jest równy 2, czyli ma ona równanie y = 2x +b. Teraz szukamy liczby b, licząc granicę różnicy f(x) − (2x+b) − jeżeli prosta ma być asymptotą, to ta różnica musi mieć granicę równą 0.

PW: Poprawka: liczymy granicę ułamka

	f(x)
lim		= 2
	x

x→+∞

kamczatka: mógłbyś to rozpisać ?

PW: Ograniczę się do granicy w +∞. Co to znaczy, że funkcja f ma asymptotę ukośną o współczynniku kierunkowym a, czyli prostą o równaniu y = ax+b? Musi mieć w +∞ granicę równą +∞ (tak jak ta funkcja liniowa), a różnica między wartościami powinna być coraz mniejsza (dążyć do zera), czyli (1) lim(f(x) − (ax+b) = 0. Na ogół nie musi być od razu widoczne jaka jest liczba a, wobec tego myślimy: gdyby podzielić (1) stronami przez x, to mielibyśmy

	f(x)		b
lim(		− a −		) = 0,
	x		x

	f(x)
lim(		− a = 0
	x

	f(x)
(2) lim(		= a.
	x

Dlatego szukanie ewentualnej asymptoty ukośnej rozpoczynamy od liczenia granicy (2) − jeżeli asymptota ukośna istnieje, to mamy wyliczony współczynnik kierunkowy. Jeżeli granica (2) nie istnieje lub nie jest skończona, to asymptoty ukośnej nie ma. W naszym zadaniu

	f(x)		2x+arctg(x/2)		2x		arctg(x/2)
lim(		= lim		= lim		+ lim		= 2 + 0 = 0.
	x		x		x		x

Drugi ułamek ma granicę 0, gdyż funkcja arctg jest ograniczona. Wniosek: Badana funkcja f ma asymptotę ukośną o równaniu y = 2x + b. Liczbę b znajdziemy licząc granicę (1) − ma być równa 0, czyli

	π
lim(2x+arctg)x/2) − (2x +b )) = 0 ⇔ lim arctg(x/2) = b ⇔		= b.
	2

	π
Odpowiedź: Asymptota ukośna dla x→+∞ ma równanie y=2x+		.
	2

Teraz policz dla x→−∞.

kamczatka: dobra już sam wcześniej zrobiłem dzięki

kamczatka: jednak jeszcze nie rozumiem

	π		π
czemu b =		a nie		?
	2		4

	1		1		π		π
arctg		x =		*(−		) = −
	2		2		2		4

PW:

	1
A co Ty −"wyciągnąłeś		przed tangens"?
	2

kamczatka: nic nie wyciągnąłem wymnożyłem 1/2 przez x, to tak nie można ?

PW: Licz granicę dla x→+∞. To nie polega na podstawianiu. Formalnie jest tu

	x
limf(g(x)) = lim arctg(		) − granica funkcji złożonej, funkcja wewnętrzna dąży do +∞.
	2

Może gdzieś znajdziesz twierdzenie o granicy funkcji złożonej.

kamczatka: ale to nie jest przecież pochodna to co z tym zrobić ?

kamczatka:

	x		π
ale jak napisałeś arctg(		) to jak podstawię pod x'a +∞ to wychodzi =		wtedy
	2		2