logarytmy pumba: Dzien dobry . Mam do porownania dwie liczby log₂₀₁₁2012 i log₂₀₁₂ 2013 tzn ktora jest wieksza Na pewno te obie liczby beda wiekszse od 1 gdyz liczby logarytmowane tych logarytmow sa wiekszse od podstaw Nie przypuszczam aby te dwie liczby byly rowne wiec zapisze tak log₂₀₁₁ 2012<log₂₀₁₂ 2013 i teraz wlasnie problem jak to wykazac Czy skorzystac z tego

1		1
	<		ale co mi to da
log2012 2011		log2013 2012

ICSP: Zbadaj monotoniczność ciągu : a_n = log_n (n+1)

pumba: Zeby te podstawy byly jednakowe np 2011 to wiadomo ze log₂₀₁₁2013 jest wieksze od log₂₀₁₁ 2012 ale tu tak nie jest

pumba: Przepraszam Cie ale mozesz pokazc gdyz nie czaje tego

pumba: Moge to napisac tak a_n+1=log_n+1(n+2) log_n+1(n+2)−log_n(n+1) przepraszam ale nie wiem jak dalej to przeksztalcic

pumba: Moze ktos dalej pomoc ? Ja nie piszse z tego sprawdzianu tylko chce to zrozumiec . Wiec jesli ktos zechcialby pomoc to bylbym zobowiazany

Godzio: Mam taki pomysł: Niech log₂₀₁₁2012 < log₂₀₁₂2013 ⇔

1		(2012 − 1)(2012 + 1)
	< log2012		⇔
log20122011		2011

1
	< log2012(20122 − 1) − log20122011 ⇔ (robimy podstawienie)
log20122011

1
	< log2012(20122 − 1) − t 0 < t < 1
t

Co możemy powiedzieć? Ano to, że 1 < x = log₂₀₁₂(2012² − 1) < log₂₀₁₂2012² = 2

1
	< x − t /* t
t

1 < tx − t² t² − tx + 1 < 0 Δ = x² − 4, a ponieważ x < 2 to x² − 4 < 4 − 4 = 0 Stąd brak pierwiastków, ramiona do góry, więc nierówność nie jest nigdy spełniona, a co za tym idzie przypuszczenie było fałszywe stąd log₂₀₁₁2012 > log₂₀₁₂2013

pumba: Dziekuje kolego A z tym pomyslem ICSP to jak by mozna rozwiazac ? Nie umiem tego przeksztalcic i musialbym bym isc do jakiegos nauczyciela matematyki z liceum zeby pokazal (a mam troche daleko ) Kilka lat uplynelo od skonczenia szkoly

Godzio: Na tę chwilę pomysłu nie mam, szczerze to takie zadanie łatwiej byłoby metodami ze studiów zrobić (w ogólności) niż badać różnicę dwóch kolejnych wyrazów. Rozumiem, że szkoła była dawno, to może i metody były dawne

	lnx
Niech f(x) = logx + 1x =		x > 0
	ln(x + 1)

========= nierówność pomocnicza ====

x
	< ln(x + 1) < x dla x > 0
x + 1

	x
−		> − ln(x + 1)
	x + 1

=================================

	1   1   ln(x + 1) − lnx * x   x + 1
f'(x) =		<
	ln2(x + 1)

1   x   1   * x − * x   x + 1   x + 1
	=
ln2(x + 1)

x   1 −   (x + 1)2
	< 0
ln2(x + 1)

pochodna jest ujemna ⇒ funkcja jest malejąca Na razie więcej nie pomogę, bo muszę wychodzić, w razie pytań będę wieczorem (koło 22)

pumba: Dobrze

pumba: Moglby ktos z szanownych forumowiczow pomoc przy zbadaniu znaku post 11:56 Nie wiem jak to przeksztalcic dalej .

pumba: Moze ktos jednak pomoze ?

pumba:

Mila: Masz dwa sposoby Godzia Jaki dalej problem? Na jakim poziomie edukacji ?LO , studia?

pumba: Dobry wieczor Pani Milu Oczywiscie na poziomie LO Chodzi mi o to jak mam zbadac momotonicznosc tego ciagu log_n+1(n+2)−log_n(n+1) nie umiem tego przeksztalcic . Natomiast kolege Godzie zapytam o przejscie

	(2012−1)(2012+1)
U{1}{log2012 2011<log2012		wlasnie dlaczego to podzielil przez
	2011

2011. Dziekuje za odpowiedz

pumba: Bo to 2013 rozumiem ze rozpisal wzorem skroconego mnozenia

Mila: Dobry wieczór

	(2012−1)*(2012+1)
1) log2012(2013)=log2012
	2011

Niebieskie uprości się i nie zmieniła się wartość liczby logarytmowanej 2)Jeśli chodzi o drugie ( ciąg), to pomyślę. a_n=log_n(n+1)

pumba: za to wyjasnienie dziekuje

Tadeusz:

	1
logn+1(n+2)*
	logn+1n

Tadeusz:

	an+1
z
	an

pumba: Dobry wieczor Tadeusz. Czyli Twoja propozycja to nie badac roznice a iloraz ?

	logn+1(n+2)		1
Wiec		= wedlug mnie logn+1(n+2)*
	logn(n+1)		logn(n+1)

a TY napisales inaczej w poscie 21:41

pumba: Ale jesli jest inaczej to proszse wytlumacz mi to dokladnie bo ja tez mam juz swoj wiek tak jak 5−latek i moze juz tak dobrze nie mysle

Tadeusz: ... masz rację ... za dużo pigwówki −

pumba: NIc nie szkodzi

pumba: Ale naprawde masz prawdziwa pigwowke

Mila: Mam sposób, ale szukam lepszego, jutro po wycieczce umysł będzie jaśniejszy.

pumba: Dobrze Pani Milu i zycze przyjemnego wypoczynku

Mila: Wzajemnie

Godzio: Widzę, że męczy Cię to pokazanie dla ciągu

Eta: 1/ a= log₂₀₁₁2012 i b= log₂₀₁₂2013

	a
załóżmy ,że a>b ⇒		>1
	b

ponad to wiadomo,że log₂₀₁₂2013> log₂₀₁₂2011

a		log20112012		log20112012
	=		<		=
b		log20122013		log20122011

	log20112012
=		=log220112012 >1
	1   log20112012

zatem a>b

pumba: Witaj Godzio . Tak jesli by mozna bylo jakos prosto pokazac to czemu nie skorzystac ? Brat wspominal o Tobie ze studiujessz we Wroclawiu .

Godzio: Szybko, zgrabnie i na temat. Cała Eta

Godzio: Ano studiuje

Eta:

pumba: Dobry wieczor Pani Eto. Mysmy juz sie kiedys spotkali na forum . Mialem wtedy nick ZKZ . Dziekuje Pani za pokazanie rozwiazania . Jestem niezmiernie wdzieczny

Eta: Na zdrowie .... Pozdrawiam ZKZ

pumba: Dziekuje i rowniez pozdrawiam

Mila: n∊N₊ a_n=log_n+1(n+2) a_n+1=log_n+2(n+3) a_n+1−a_n=log_n+2(n+3)−log_n+1(n+2)−=

	logn+1(n+3)
=		−logn+1(n+2)=
	logn+1(n+2)

	logn+1(n+3)−log2n+1(n+2)
=		<0
	logn+1(n+2)

⇔ciąg a_n jest malejący stąd a₂₀₁₀=log₂₀₁₁(2012)>a₂₀₁₁=log₂₀₁₂(2013) [log_n+1(n+2)>0, log_n+1(n+3)>log_n+1(n+2) i log_n+1(n+3)>1]

pumba: Bardzo dziekuje Pani za pamiec Postaram sie to zrozumiec . W razie czego bede pytal .